PERSAMAAN
DAN FUNGSI KUADARAT
I.
PERSAMAAN KUADRAT
1. Menemukan Konsep Persamaan Kuadrat
Banyak permasalahan dalam kehidupan yang pemecahannya
terkait dengan konsep dan aturan-aturan dalam matematika. Secara khusus
keterkaitan konsep dan prinsip-prinsip persamaan kuadrat, sering kita temukan
dalam permasalahan kehidupan nyata yang menyatu/bersumber dari fakta dan
lingkungan budaya kita. Konsep persamaan kuadrat dapat dibangun/ditemukan di
dalam pemecahan permasalahan yang kita hadapi. Gunakan variabel untuk
menyatakan masalah dalam matematika. Ingat konsep dan aturan-aturan apa saja
yang terkait dengan masalah yang dihadapi supaya dapat terpecahkan.
Masalah:
Pak
Anas memiliki tambak ikan mas di hulu sungai yang berada di belakang rumahnya.
Setiap pagi, ia pergi ke tambak tersebut naik perahu melalui sungai yang berada
di belakang rumahnya. Dengan perahu memerlukan waktu 1 jam lebih lama menuju
tambak dari pada pulangnya. Jika laju air sungai 4 km/jam dan jarak tambak dari
rumah 6 km, berapa laju perahu dalam air yang tenang?
Penyelesaian:
Misalkan Va adalah
kecepatan air sungai dengan Va = 4 km/jam
Vhu adalah kecepatan perahu kehulu
Vhi
adalah kecepatan
perahu saat pulang
Vt
adalah kecepatan
perahu dalam air tenang
t1 adalah waktu yang diperlukan menuju Tambak
t2 adalah waktu yang digunakan menuju rumah (pulang)
S adalah jarak tambak dari rumah Pak Anas
Bagaimana kecepatan perahu saat pergi kehulu
dan saat menuju hilir (pulang)?
Kecepatan perahu saat menuju hulu sungai
menentang kecepatan air dan saat Pak Anas pulang, kecepatan perahu searah
dengan kecepatan air sungai mengalir. Sehingga, Jika dimisalkan Vat
= x km/jam maka
Vhu = x – 4 dan Vhi = x
+ 4
Diasumsikan
perahu tidak pernah berhenti sebelum sampai di tujuan, berarti x ≠ – 4
dan x ≠ 4.
 |
| matematika sekolah 2 |
t1 - t2 = 
= 1
= 1
− 
= 1
6
(x + 4) – 6 (x – 4) = (x + 4) (x – 4)
6x + 24 - 6x + 24 = x2
+ 4x – 4x - 16
48 = x2 – 16
\ x2 – 64 = 0
x2 – 64 =
0 ⇒ (x – 8) (x + 8) = 0
⇒ x - 8 = 0 atau x + 8 = 0
⇒ x = 8 atau x = -8
Kecepatan perahu di air tenang adalah Vat = x = 8 km/jam.
Nilai x = –8 tidak berlaku sebab kecepatan perahu bergerak maju
selalu bernilai positif.
Definisi:
Persamaan
kuadrat dalam x adalah suatu persamaan yang berbentuk ax2 + bx + c =
0, dengan a, b, dan
c bilangan real dan a ≠ 0.
Keterangan: x adalah variabel atau
peubah
a adalah koefisien dari x2
b adalah koefisien dari x
c adalah
konstanta persamaan
Ciri-ciri persamaan kuadrat:
·
Sebuah persamaan
·
Pangkat tertinggi peubahnya adalah 2 dan
pangkat terendah adalah 0
·
Koefisien variabelnya adalah bilangan real
·
Koefisien variabel berpangkat 2, tidak sama
dengan nol
·
Koefisien variabel berpangkat 1 dan 0 dapat bernilai
0.
Contoh:
Sebuah bola bergerak dari ketinggian h m.
Ketinggian bola dari tanah untuk setiap detiknya ditentukan fungsi waktu h(t)
= 20t – 5t2. Saat bola tiba di atas tanah, apa yang
kamu temukan?
Penyelesaian:
Saat bola tiba di atas tanah, h(t)
= 0.
h(t) = 0 ⇒ h(t) = 20t – 5t2=
0.
Persamaan 20t – 5t2
= 0 termasuk persamaan kuadrat sebab persamaan 20t – 5t2
= 0 dapat ditulis menjadi -5t2 + 20t + 0 = 0, dengan
koefisien a = -5 ≠ 0, b = 20 dan c = 0. Berdasarkan
Definisi, persamaan 20t – 5t2 = 0 merupakan persamaan
kuadrat dengan satu variabel, yaitu t.
2.
Menentukan
Akar-akar Persamaan Kuadrat
Ada beberapa cara (aturan) menentukan penyelesaian
persamaan kuadrat. Aturan tersebut seluruhnya diturunkan dari konsep (Definisi)
yang telah kita temukan. Aturan tersebut antara lain, cara memfaktorkan,
melengkapkan kuadrat sempurna, dan rumus ABC. Ketiga aturan ini memiliki
kelebihan dan kelemahan terkait dengan efisiensi waktu yang digunakan untuk
menentukan akar-akar sebuah persamaan kuadrat.
1)
Cara Pemfaktoran
1)
Cara melengkapi kuadrat
sempurna
Berdasarkan
definisi kita memiliki bentuk umum persamaan kuadrat ax2 + bx
+ c = 0 dengan
a, b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0. Untuk a = 1, ax2
+ bx + c = 0
→ x2 + bx
+ c – c = 0 – c
Þ x2 + bx + 
= – c
= – c
II. FUNGSI
KUADRAT
Menemukan Konsep
Fungsi Kuadrat
Fungsi
kuadrat sering kita temukan dalam permasalahan kehidupan nyata yang menyatu
pada fakta dan lingkungan budaya kita. Konsep fungsi kuadrat dapat ditemukan di
dalam pemecahan permasalahan yang kita hadapi. Untuk itu perhatikan dengan
cermat permasalahan-permasalahan yang diberikan.
Masalah:
Pak Ketut
memiliki jaring jala sepanjang 60 m. Ia ingin membuat keramba ikan gurami dan
udang. Kedua keramba ikan dibuat berdampingan. Misalkan panjang keramba y m dan
lebarnya x m, serta kelilingnya keramba k m. Tentukanlah ukuran
keramba agar luasnya maksimum!
Penyelesaian
Penampang permukaan keramba dapat digambarkan sebagai
berikut.
y m |
|||
 |
|||
x m
Karena panjang jaring jala yang tersedia
adalah 60 m maka keliling keseluruhan permukaan keramba ikan adalah
K = 2y + 3x = 60 ⇒ 2y = 60 – 3x ⇒ y = 30 – 
x
x
Luas keseluruhan permukaan keramba ikan
adalah
L = panjang × lebar
L = y × x
y = 30 – x ⇒ L = y × x ⇒ L = (30 –
x)x
x ⇒ L = y × x ⇒ L = (30 –x)x
⇒ L = 30x – x2
Karena luas permukaan keramba tergantung
nilai x maka persamaan fungsi luas dapat dinyatakan sebagai berikut.
∴ L(x) = 30x –
x2, x ∈ R, x ≥ 0
x2, x ∈ R, x ≥ 0
Dengan mengambil beberapa harga x, diperoleh beberapa harga L dan
disajikan pada tabel berikut
Tabel. Nilai L dengan x merupakan bilangan bulat genap positif
Nilai x
|
0
|
2
|
4
|
6
|
8
|
10
|
12
|
14
|
16
|
18
|
20
|
Nilai y
|
0
|
54
|
96
|
126
|
144
|
150
|
144
|
126
|
96
|
54
|
0
|
Sekarang mari kita
gambarkan grafik fungsi L(x) = 30x – x2 pada bidang
koordinat dengan bantuan nilai-nilai x dan L yang ada pada tabel diatas.
Coba cermati harga-harga x dan L di
dalam Tabel dan grafik fungsi L(x)
= 30x – 
x2, x ≥ 0 memiliki ciri-ciri sebagai berikut.
x2, x ≥ 0 memiliki ciri-ciri sebagai berikut.
a) Kurva terbuka ke bawah
b) Grafik memotong sumbu-x pada dua titik
yang berbeda yaitu titik (0, 0) dan titik (20, 0).
c) Grafik fungsi mencapai puncak pada titik
(10, 150).
d) Garis x = 10 membagi dua luas (sama
besar) daerah di bawah kurva, sehingga garis x = 10 dapat dikatakan
sebagai sumbu simetri grafik fungsi L(x) = 30x – x2.
x2.
Berdasarkan grafik fungsi di atas, luas
maksimum diperoleh saat lebar dan panjang permukaan keramba ikan, yaitu x =
10 m dan y = 15 m
x = 10 m dan y = 30 – 32x ⇒ y = 15 m
Luas maksimum permukaan keramba ikan adalah L= 150
m2
Definisi:
Fungsi
kuadrat dalam x adalah suatu fungsi yang berbentuk f(x) = ax2
+ bx + c, dengan a, b, c adalah bilangan
real dan a ≠ 0.
Misalkan A, B ⊂ R, didefinisikan fungsi
f : A → B, dengan f(x) = ax2
+ bx + c; a, b, c ∈ R dan a ≠ 0.
Dengan : x adalah variabel bebas atau
peubah bebas
a adalah koefisien dari x2
b adalah koefisien dari x
c adalah konstanta persamaan
f(x) adalah nilai fungsi yang
tergantung pada nilai variabel x.
III. Grafik Fungsi Kuadrat
Masalah:
Temukan grafik
fungsi kuadrat y = f(x ) = 
, x 
R dari grafik
fungsi kuadrat y = f(x) = , x R, x
≥ 0.
, x R dari grafik
fungsi kuadrat y = f(x) = , x R, x
≥ 0.
Penyelesaian:
Perhatikan fungsi
kuadrat y = f(x) = , x R, x
≥ 0, yang
menyatakan besarnya debit air yang mengalir dari pipa. Besarnya debit air yang mengalir dari
pipa tergantung besarnya ukuran diameter (x) pipa. Jika x = 0,
maka debit air adalah y = f(x) = f(0) = 0. Untuk
beberapa nilai x diberikan, diperoleh nilai y = f(x)
disajikan dalam tabel berikut.
, x R, x
≥ 0, yang
menyatakan besarnya debit air yang mengalir dari pipa. Besarnya debit air yang mengalir dari
pipa tergantung besarnya ukuran diameter (x) pipa. Jika x = 0,
maka debit air adalah y = f(x) = f(0) = 0. Untuk
beberapa nilai x diberikan, diperoleh nilai y = f(x)
disajikan dalam tabel berikut.
x
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
y = f(x)
|
0
|
3,51
|
14,04
|
31,6
|
56,17
|
Grafik
persamaan fungsi kuadrat y = f(x) = , x R, x
≥ 0, dapat
digambarkan sebagai berikut.
, x R, x
≥ 0, dapat
digambarkan sebagai berikut.
CARA MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI KUADRAT
Fungsi kuadrat adalah suatu
fungsi matematika yang memiliki derajat dua dengan bentuk umum F(x) = y = ax2 +
bx + c dengan a ≠ 0. Pada fungsi tersebut, a,b, dan c merupakan konstanta real.
Jika digambarkan ke dalam grafik, maka bentuk fungsi kuadrat akan menyerupai
parabola. Karakteristik dan bentuk grafik fungsi kuadrat bergantung pada nilai
konstanta a,b,c, dan nilai diskriminannya. Untuk menyelesaikan persoalan
mengenai fungsi kuadrat sudah tentu pemahaman kita tentang persamaan kuadrat
yang telah lebih dahulu kita pelajari akan sangat membantu. Ketika kita akan
menentukan titik potong parabola terhadap sumbu x, maka metode menentukan
akar-akar persamaan kuadrat haruslah kita kuasai baik itu metode pemfaktoran
maupun metode rumus abc. Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat Pada dasarnya
menggambar grafik fungsi kuadrat sama halnya dengan menggambar grafik persamaan
garis lurus. Hal yang harus kita lakukan adalah menentukan titik potong
terhadap sumbu x dan sumbu y. Akan tetapi, pada fungsi kuadrat, selain mencari
titik potong fungsi terhadap sumbu x dan sumbu y, kita juga harus mencari sumbu
simetris dan titik baliknya terlebih dahulu. Kita juga dapat menentukan tiitk
lain sebagai bantuan dalam menarik garis membentuk parabola. Sesuai dengan
skema pada gambar di atas, berikut langkah-langkah dalam menggambar grafik
fungsi kuadrat : Tentukan titik potong dengan sumbu x (jika ada) Titik potong
terhadap sumbu x berarti fungsi kuadrat bernilai nol. Secara matematis dapat
ditulis sebagai berikut : F(x) = y ⇒ ax2 + bx + c = 0 Untuk
mendapatkan titik potong tersebut tentu kita harus mencari akar-akar persamaan
kuadrat sehingga diperoleh x1 dan x2. Titik potong dengan sumbu x akan menjadi
(x1,0) dan (x2,0). Tentukan titik potong dengan sumbu y Untuk memperoleh titik
potong dengan sumbu y, maka kita masukkan nilai x = 0 ke dalam fungsi kuadrat,
sehingga secara matematis diperoleh : F(x) = y ⇒ y = a(0)2 + b(0) + c ⇒ y = c Dengan begitu maka titik potong
terhadap sumbu y akan menjadi (0,c). Tentukan titik balik atau titik puncak
parabola Titik balik juga sering disebut titik ekstrim. Titik ini merupakan titik
acuan kita untuk menggambar parabola. Dengan mengetahui titik puncak parabola
maka kita akan mengetahui arah grafik parabola tersebut apakah terbuka ke atas
atau terbuka ke bawah. Secara matematis titik balik dapat dihitung dengan rumus
: Titik balik = (x,y) = (-b/2a, D/-4a) dengan : x = -b/2a = sumbu simetris
parabola y = D/-4a = puncak parabola D = diskriminan persamaan kuadrat = b2 -
4ac Pada tahap ini terdapat beberapa pedoman yang dapat kita jadikan acuan
yaitu : ⇒ jika a > 0 → grafik terbuka ke atas ,
titik balik minimum. ⇒ jika a < 0 → grafik terbuka
ke bawah , titik balik maksimum. ⇒ jika ab > 0 → titik balik
terletak di kiri sumbu y. ⇒ jika ab < 0 →titik balik
terletak di kanan sumbu y. ⇒ jika b = 0 → titik balik ada di
sumbu y. ⇒ jika c > 0 → grafik memotong sumbu y di
atas sumbu x. ⇒ jika c < 0 → grafik memotong sumbu y di
bawah sumbu x. ⇒ jika c = 0 → grafik melalui
titik (0,0). Tarik garis berbentuk parabola yang sesuai Langkah terakhir
tariklah garis yang menghubungkan titik-titik yang telah kita tentukan sehingga
dihasilkan grafik berbentuk parabola. Agar tidak terlalu sulit kita dapat
menggunakan titik bantu dan tetap memperhatikan pedoman pada point 3 di atas.
Sifat Grafik Fungsi Kuadrat Berdasarkan Diskriminan Berdasarkan nilai diskriminannya,
terdapat beberapa sifak khusus grafik fungsi kuadrat, yaitu : ⇒ jika D > 0 → grafik memotong sumbu x di
dua titik yaitu x1 dan x2. ⇒ jika D = 0 → grafik parabola menyinggung
sumbu x. ⇒ jika D < 0 → grafik parabola tidak
memotong sumbu x. Note : Sifat-sifat grafik parabola pada gambar di atas
bukanlah hal mutlak karena gambar itu hanya untuk menunjukkan titik puncak,
letak titik puncak, dan arah parabola terbuka ke atas atau ke bawah. Pada dasarnya
grafik fungsi kuadrat bergantung pada konstanta dan diskriminannya jadi gambar
di atas hanya sebagai acuan secara umum dan tentu saja berbeda untuk tiap-tiap
harga konstanta c.
Dengan
mencerminkan grafik persamaan fungsi kuadrat y = f(x) = , x R, x
≥ 0, terhadap
Sumbu-y, maka diperoleh sebuah parabola berikut.
, x R, x
≥ 0, terhadap
Sumbu-y, maka diperoleh sebuah parabola berikut.
Ciri-ciri fungsi
kuadrat y = f(x) = , x R, dan parabola di atas
adalah sebagai
berikut.
, x R, dan parabola di atas
adalah sebagai
berikut.
·
Koefisien
x2 adalah a = 
> 0
> 0
·
Kurva terbuka ke
atas
·
Memiliki titik
puncak (titik balik minimum) di titik O (0, 0)
·
Memiliki sumbu
simetri yang membagi dua daerah kurva sama besar, yaitu garis x = 0 dan
nilai minimum y = f(0) = 0
·
Nilai
diskriminan, D = b2 – 4ac = 0
·
Kurva
menyinggung sumbu x pada titik O(0, 0)
Selanjutnya kita cerminkan grafik fungsi
kuadrat y = f(x) = , x R, terhadap Sumbu-x atau
garis y = 0. Dengan mengingat kembali sifat-sifat pencerminan bahwa arah benda
dengan bayangannya selalu berlawanan arah. Sehingga nilai fungsi kuadrat y =
f(x) = , x R, berubah dari bernilai positif menjadi
negatif. Perubahan tersebut diikuti oleh perubahan fungsinya dari y = f(x)
= , x R, menjadi y = f(x)
= 
, x R. Secara lengkap bayangan grafik persamaan
fungsi kuadrat y = f(x) setelah dicerminkan terhadap Sumbu
−x adalah sebagai berikut
, x R, terhadap Sumbu-x atau
garis y = 0. Dengan mengingat kembali sifat-sifat pencerminan bahwa arah benda
dengan bayangannya selalu berlawanan arah. Sehingga nilai fungsi kuadrat y =
f(x) = , x R, berubah dari bernilai positif menjadi
negatif. Perubahan tersebut diikuti oleh perubahan fungsinya dari y = f(x)
= , x R, menjadi y = f(x)
= , x R. Secara lengkap bayangan grafik persamaan
fungsi kuadrat y = f(x) setelah dicerminkan terhadap Sumbu
−x adalah sebagai berikut
Ciri-ciri
fungsi kuadrat y = f(x) = , x R dan parabola hasil pencerminan terhadap sumbu −x adalah
, x R dan parabola hasil pencerminan terhadap sumbu −x adalah
·
Kurva
terbuka ke bawah
·
Memiliki
titik puncak (titik balik maksimum) di titik O (0, 0)
·
Memiliki
sumbu simetri yang membagi dua daerah kurva sama besar, yaitu garis y =
0 dan nilai minimum f(0) = 0
·
Kurva
menyinggung Sumbu x pada titik O(0, 0)
·
Nilai
diskriminan, D = b2 – 4ac = 0
Kesimpulan dari hasil
pencerminan:
Misalkan g(x) = ax2, x ∈ R, jika dicerminkan terhadap Sumbu-x
maka diperoleh g*(x) = -ax2, x ∈ R dengan sumbu simetri adalah Sumbu-y dan
memiliki titik puncak O (0, 0).
Grafik fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c, dengan a, b, c
adalah bilangan real dan a ≠ 0, memiliki:
a. Persamaan
sumbu simetri x = 
dan
dan
b. Titik
puncak P 
.
.
Dari beberapa
sajian grafik persamaan fungsi kuadrat, sifat-sifat grafik persamaan fungsi
kuadrat menyajikan beberapa kemungkinan kondisi grafik tersebut terkait dengan
koefisien x2 , nilai diskriminan dan nilai fungsi tersebut.
Dari fungsi
kuadrat f(x)
= a 
+ 
dengan a, b, c adalah bilangan real dan a ≠
0, dapat diturunkan beberapa sifat.
+ dengan a, b, c adalah bilangan real dan a ≠
0, dapat diturunkan beberapa sifat.
°
Jika
a > 0, maka grafik persamaan fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c, , dengan a, b, c
adalah bilangan real dan a ≠ 0 terbuka ke atas dan memiliki titik balik minimum P 
°
Jika
a < 0, maka grafik persamaan fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c, , dengan a, b, c
adalah bilangan real dan a ≠ 0 terbuka ke atas dan memiliki titik balik maksimum P
Grafik fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c, dengan a, b, c
adalah bilangan real dan a ≠ 0. Misal D = b2
– 4ac (D adalah diskriminan)
a. Jika D > 0 maka grafik y = f(x)
memotong Sumbu-x pada dua titik berbeda
b. Jika D = 0 maka grafik y = f(x)
menyinggung Sumbu-x pada satu titik
c. Jika D < 0 maka grafik y = f(x)
tidak memotong Sumbu-x
Pada gambar berikut
diperlihatkan berbagai kemungkinan letak parabola terhadap Sumbu-x
Sehingga dapat
disimpulkan bahwa langkah-langkah yang diperlukan untuk membuat sketsa grafik
fungsi kuadrat y = ax2 + bx adalah sebagai berikut:
a. Menentukan titik potong dengan sumbu x,
diperoleh jika y = 0.
b. Menentukan titik potong dengan sumbu y,
diperoleh jika x = 0.
c. Menentukan persamaan sumbu simetri x =
d. Menentukan nilai ekstrim grafik y = 
e. Koordinat titik
balik sebuah grafik fungsi kuadrat adalah 
.
.
Selain itu fungsi kuadrat memiliki bentuk
umum dengan a, b, c ∈ R dan a ≠ 0. Dari bentuk aljabar tersebut, grafik fungsi kuadrat
dapat diilustrasikan sebagi bentuk lintasan lengkung atau parabola dengan
karakteristik grafik fungsi kuadrat sebagai berikut.
a. Jika a > 0, maka parabola
terbuka ke atas.
b. Jika a < 0, maka parabola
terbuka ke bawah.
c. Jika D < 0, maka parabola tidak
memotong maupun menyinggung sumbu x.
d. Jika D = 0, maka parabola
menyinggung sumbu x.
e. Jika D >
0, maka parabola memotong sumbu x di dua titik.
Contoh soal grafik fungsi
Koordinat titik
puncak (-2, 16)
Persamaan grafik
fungsi : y = a(x+2)2 16
Grafik fungsi
melalui titik (-6, 0)
0 = a(-6 + 2)2
+ 16
0 = a(-4)2 +
16
0 = a.16 +16
-16 = a.16
a = -1
jadi persamaan
grafik fungsi itu :
y = a(x + 2)2
+16
= -1(x + 2)2 +16
= -1(x2 + 4x – 4 + 16)
= -x2 – 4x – 4 +16
= -x2 – 4x + 12
= 12 – 4x – x2
IV. Hubungan Persamaan Kuadrat dan Fungsi Kuadrat
Konsep persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat
sebagai berikut:
·
Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan
aljabar yang dinyatakan dalam bentuk
ax2 + bx + c = 0, dengan a, b, c adalah
bilangan real dan a ≠ 0.
·
Fungsi kuadrat adalah suatu fungsi yang
dinyatakan dalam bentuk f(x) = ax2 + bx +
c, dengan a, b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0.
Daftar Pustaka
http://bahanbelajarsekolah.blogspot.co.id/2014/12/cara-menggambar-grafik-fungsi-kuadrat.html?en diakses tanggal
4 oktober 2015
Materi :
·
Mengidentifikasi
dan menerapkan konsep fungsi dan persamaan kuadrat dalam menyelesaikan masalah
nyata dan menjelaskannya secara lisan dan tulisan
·
Menyusun model
matematika dari masalah yang berkaitan dengan persamaan dan fungsi kuadrat dan
menyelesaikan serta memeriksa kebenaran jawabannya
·
Menggambar dan
membuat sketsa grafik fungsi kuadrat dari masalah nyata berdasarkan data yang
ditentukan dan menafsirkan karakteristiknya
·
Mengidentifikasi
hubungan fungsional kuadratik dari fenomena sehari-hari dan menafsirkan makna
dari setiap variabel yang digunakan
No comments:
Post a Comment