CONTOH HASIL PENELITIAN HIPOTESIS MATEMATIKA

DESKRIPSI HASIL PENELITIAN
A. Hasil Hasil Penelitian
a. data hasil tindakan siklus 1 diperoleh sebagai berikut : (1) 7 siswa nilai tertinggi : wena nilai 10,umi nilai 9,tina nilai 9,sinta nilai 9,ninuk nilai 9, mirna nilai 9, Karin nilai 9 (2) 4 siswa nilai terendah : yani nilai 3, zaki nilai 4, vivi nilai 5, pita nilai : 5, omi nilai 5, erna nilai 5, dudu nilai 5 (3) 2 siswa nilai dibawah kkm : qodir nilai 6, gina nilai 6, (4) 2 siswa diatas kkm : anita nilai 8, lili nilai 8.
b. data hasil tindakan siklus 2 diperoleh sebagai berikut :
( 1 ) 9 siswa nilai tertinggi : anita nilai 10, wena nilai 10, umi nilai 9, tina nilai 9, sinta nilai 9,ninuk nilai 9, mirna nilai 9, Karin nilai 9, lola nilai 9. ( 2 ) 2 siswa nilai terendah : dudu nilai 5, pita nilai 5 ( 3 ) 2 siswa nilai dibawah kkm : gina nilai 6, qodir nilai 6 ( 4 ) 1 siswa nilai diatas kkm : lili nilai 8.
B. PEMBAHASAN
Pada siklus 1 nilai siswa masih ada nilai dibawah kkm dan setelah dilakukan siklus ke 2 siswa memperoleh nilai diatas kkm, jadi pada siklus ke 2 peneliti dikatakan berhasil karena siswa mampu mencapai nilai diatas kkm.
Dari keseluruhan data nilai siklus 1 dan siklus 2 diketahui data sebagai berikut : pertama dan kemajuan tindakan kedua, yang merupakan kegiatan tindakan akhir untuk ditarik kesimpulan pada penelitian ini, Penilaian dilakukan sama terhadap 25 orang siswa dari dua kelompok, karena mereka menggunakan hasil evaluasi Nilai
kemampuan awal penelitian sebagai berikut: (1).pendataan nilai tertinggi 16 siswa ( 2 ) pendataan nilai terendah 9 siswa ( 3 ) pendataan nilai dibawah kkm 4 siswa ( 4 ) pendataan nilai diatas kkm 3 siswa.. Nilai rata-rata adalah 7,26.. Hasil penelitian telah sesuai dengan tujuan perbaikan dan rumusan masalah.

Pendekatan PMRI dalam Metode pembelajaran di Indonesia

Pendekatan PMRI - Pembelajaran Matematika, sebelum menggunakan pendekatan PMRI, diberikan dengan menjelaskan langkah-langkah dalam menghitung. Guru menyajikan materi dengan memberikan contoh-contoh bagaimana mengerjakan suatu soal secara jelas dan rinci. Kemudian, siswa diminta mengerjakan soal-soal latihan yang sudah tersaji dengan jelas dan jawabannya pun sudah pasti.

Sementara itu, pada pembelajaran dengan pendekatan PMRI ada 5 tahapan yang perlu dilalui oleh siswa, yaitu: Penyelesaian masalah, Penalaran, Komunikasi, Kepercayaan diri, dan Representasi.

Pada tahap penyelesaian masalah, siswa diajak mengerjakan soal-soal dengan menggunakan langkah-langkah sendiri. Dan yang patut dihargai ialah bahwa penggunaan langkah ini tidak berlaku baku/sama seperti yang dipakai pada buku atau yang digunakan guru. Siswa dapat menggunakan cara/metode yang ditemukan sendiri, yang bahkan sangat berbeda dengan cara/metode yang dipakai oleh buku atau oleh guru.

Pada tahap penalaran, siswa dilatih untuk bernalar dalam mengerjakan setiap soal yang dikerjakan. Artinya, pada tahap ini siswa harus dapat mempertanggungjawabkan cara/metode yang dipakainya dalam mengerjakan tiap soal.

Pada tahap komunikasi, siswa diharapkan dapat mengkomunikasikan jawaban yang dipilih pada teman-temannya. Siswa berhak pula menyanggah (menolak) jawaban milik teman yang dianggap tidak sesuai dengan pendapatnya sendiri.

Pada tahap kepercayaan diri, siswa diharapkan mampu melatih kepercayaan diri dengan cara mau menyampaikan jawaban soal yang diperolehnya kepada kawan-kawannya dengan berani maju ke depan kelas. Dan seandainya jawaban yang dipilihnya berbeda dengan jawaban teman, siswa diharapkan mau menyampaikannya dengan penuh tanggungjawab dan berani baik secara lisan maupun secara tertulis.

pendekatan PMRI

Pada tahap representasi, siswa memperoleh kebebasan untuk memilih bentuk representasi yang dia inginkan (benda konkrit, gambar atau lambang-lambang matematika) untuk menyajikan atau menyelesaikan masalah yang dia hadapi. Dia membangun penalarannya, kepercayaan dirinya melalui bentuk representasi yang dipilihnya.

Selain hal-hal di atas, banyak juga orang tua menyampaikan tanggapan dan pandangannya kepada guru setelah pelajaran matematika dilaksanakan dengan pendekatan PMRI.

• Pelajaran matematika dengan pendekatan PMRI sangat komprehensif. Artinya, penyajian materi pelajaran selalu dihubungkan dengan materi lain. Ketika siswa mengerjakan suatu soal, dia selalu berpikir tentang kaitan suatu soal dengan soal yang sudah pernah dia selesaikan, atau antara suatu meteri baru dengan materi lama yang pernah dia pelajari. Dengan demikian, siswa yang sudah dapat mengerjakan suatu soal sebelumnya, besar kemungkinannya dapat mengerjakan soal yang dia sedang dihadapinya.

• Pelajaran matematika dengan pendekatan PMRI bersifat integral. Artinya, pelajaran matematika dapat dihubungkan langsung dengan pelajaran lain.

• Pelajaran matematika dengan pendekatan PMRI menuntut logika atau penalaran yang sah. Artinya, siswa yang berpikir dengan nalar yang tertata dalam matematika, pada pelajaran lain pun proses penalarannya juga bagus. Sebaliknya, siswa yang pada pelajaran matematika berpikir dengan penalaran yang tidak tertata (ngawur) pada pelajaran lain pun cara berpikir (bernalar) nya sama.

• Pelajaran matematika dengan pendekatan PMRI menggunakan berpikir tingkat tinggi. Ada orang tua yang mengatakan bahwa anak yang dapat mengikuti pembelajaran matematika dengan pendekatan PMRI daya tangkapnya tinggi. (Lihat saja, bahasa yang digunakan anak sudah seperti bahasa mahasiswa). Maksudnya, caranya anak mengungkapkan maksudnya mudah ditangkap dan jelas.

Sebagai akibat pembelajaran matematika dengan pendekatan PMRI, tak heran bahwa perolehan nilai siswa pada ulangan umum bersama pada semester I lalu, yang materinya dari Dinas, lebih tinggi dari perolehan nilai matematika siswa yang tak menggunakan pendekatan PMRI.

Maka dengan sedikit bangga, saya berpikir bahwa pembelajran matematika dengan pendekatan PMRI ternyata benar-benar membawa pengaruh besar dalam pengembangan pemahaman matematika dalam diri anak pada umumya.

PENDIDIKAN MATEMATIKA REALISTIK INDONESIA (PMRI) INDONESIA

Pendidikan memegang peranan penting dalam mempersiapkan sumber daya manusia yang berkualitas dan mampu berkompetisi dalam perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi, sehingga pendidikan harus dilaksanakan dengan sebaik-baiknya untuk memperoleh hasil maksimal. Pendidikan hendaknya dikelola, baik secara kualitas maupun kuantitas. Hal tersebut dapat dicapai dengan terlaksananya pendidikan yang tepat waktu dan tepat guna untuk mencapai tujuan pembelajaran.
Sejalan dengan upaya pengembangan ilmu pengetahuan dan teknologi, sekolah merupakan lembaga formal penyelenggara pendidikan. Sekolah Dasar (SD) sebagai salah satu lembaga formal dasar yang bernaung di bawah Departemen Pendidikan Nasional mengemban misi dasar dalam memberikan kontribusi untuk mencapai tujuan pendidikan nasional.
Pendidikan dilaksanakan dalam bentuk proses belajar mengajar yang merupakan pelaksanaan dari kurikulum sekolah. Melalui kegiatan pengajaran, siswa-siswi SD yang berada pada tahap operasi konkrit sudah semestinya dibekali dengan ilmu pengetahuan dasar dan keterampilan dasar yang dalam hal ini adalah mata pelajaran yang tercantum dalam kurikulum SD/MI untuk mengembangkan pengetahuan dan keterampilannya pada jenjang pendidikan selanjutnya.
Pengajaran di kelas tidak terlepas dari aktivitas belajar siswa. Melalui aktivitas belajar tersebut diharapkan dapat meningkatkan pengalaman belajar sehingga proses pembelajaran akan menjadi lebih bermakna bagi siswa. Pelaksanaannyapun harus dilaksanakan dengan pendekatan belajar yang relevan dengan paradigma pendidikan sekarang.
Paradigma baru pendidikan sekarang ini lebih menekankan pada peserta didik sebagai manusia yang memiliki potensi untuk belajar dan berkembang. Siswa harus aktif dalam pencarian dan pengembangan pengetahuan. Melalui paradigma baru tersebut diharapkan di kelas siswa aktif dalam belajar, aktif berdiskusi, berani menyampaikan gagasan dan menerima gagasan dari orang lain dan memiliki kepercayaan diri yang tinggi (Zamroni, 2000). Pendidikan Matematika Realistik Indonesia (PMRI) merupakan pendekatan dalam pembelajaran matematika yang sesuai dengan paradigma pendidikan sekarang. PMRI menginginkan adanya perubahan dalam paradigma pembelajaran, yaitu dari paradigma mengajar menjadi paradigma belajar (Marpaung, 2004).
PMRI selama ini merupakan sebuah pendekatan pembelajaran matematika yang relatif baru dan belum semua kalangan dalam dunia pendidikan mengenalnya. Selama beberapa tahun belakangan sampai sekarang. PMRI telah diuji coba terbatas di kelas I, II dan III. Kemudian mulai tahun pelajaran 2002/2003 baru dilakukan uji coba penuh di beberapa Sekolah Dasar (SD) dan Madrasah Ibtidaiyah (MI) di Indonesia dengan hasil yang sangat menggembirakan. Saat ini pembelajaran matematika dengan pendekatan realistik untuk kelas lainnya masih diujicobakan.
SD Islam Sabilal Muhtadin merupakan salah satu sekolah di Indonesia yang telah melaksanakan pembelajaran matematika dengan pendekatan realistik di kelas I dan II sejak tahun pelajaran 2003/2004. Seperti halnya di beberapa sekolah di Indonesia, pembelajaran matematika dengan pendekatan realistik untuk kelas IV masih diujicobakan.
Pembelajaran matematika selama ini terlalu dipengaruhi pandangan bahwa matematika adalah alat yang siap pakai. Pandangan ini mendorong guru bersikap cenderung memberi tahu konsep/ sifat/ teorema dan cara menggunakannya. Guru cenderung mentransfer pengetahuan yang dimiliki ke pikiran anak dan anak menerimanya secara pasif dan tidak kritis. Adakalanya siswa menjawab soal dengan benar namun mereka tidak dapat mengungkapkan alasan atas jawaban mereka. Siswa dapat menggunakan rumus tetapi tidak tahu dari mana asalnya rumus itu dan mengapa rumus itu digunakan. Keadaan demikian mungkin terjadi karena di dalam proses pembelajaran tersebut siswa kurang diberi kesempatan dalam mengungkapkan ide-ide dan alasan jawaban mereka sehingga kurang terbiasa untuk mengungkapkan ide-ide atau alasan dari jawabannya.
Perubahan cara berpikir yang perlu sejak awal diperhatikan ialah bahwa hasil belajar siswa meruapakan tanggung jawab siswa sendiri. Artinya bahwa hasil belajar siswa dipengaruhi secara langsung oleh karakteristik siswa sendiri dan pengalaman belajarnya. Tanggung jawab langsung guru sebenarnya pada penciptaan kondisi belajar yang memungkinkan siswa memperoleh pengalaman belajar yang baik (Marpaung, 2004). Pengalaman belajar akan terbentuk apabila siswa ikut terlibat dalam pembelajaran yang terlihat dari aktivitas belajarnya.
PMRI juga menekankan untuk membawa matematika pada pengajaran bermakna dengan mengkaitkannya dalam kehidupan nyata sehari-hari yang bersifat realistik. Siswa disajikan masalah-masalah kontekstual, yaitu masalah-masalah yang berkaitan dengan situasi realistik. Kata realistik disini dimaksudkan sebagai suatu situasi yang dapat dibayangkan oleh siswa atau menggambarkan situasi dalam dunia nyata (Zulkarnain, 2002).




PEMBAHASAN
Matematika Realistik (MR) adalah matematika yang disajikan sebagai suatu proses kegiatan manusia, bukan sebagai produk jadi. Bahan pelajaran yang disajikan melalui bahan cerita yang sesuai dengan lingkungan siswa (kontekstual) (Zigma Edisi, 14, 12 Oktober 2007)
Sedangkan pendapat lain mengatakan bahwa Realistic Mathematics Education (PMR) merupakan teori belajar mengajar dalam pendidikan matematika.              Teori PMR pertama kali diperkenalkan dan dikembangkan di Belanda pada tahun 1970 oleh Institut Freudenthal.  Realistik dalam hal ini dimaksudkan tidak mengacu pada realitas tetapi pada sesuatu yang dapat dibayangkan oleh siswa (Slettenhaar, 2000). Prinsip penemuan kembali dapat diinspirasi oleh prosedur-prosedur pemecahan informal, sedangkan proses penemuan kembali menggunakan konsep matematisasi (http/darsusianto-blogspot. Com 2007/08/matematika realistik/html).  Adapun konsep pendidikan matematika realistik tentang siswa antara lain sebagai berikut:Siswa memiliki seperangkat konsep alternatif tentang ide-ide matematika yang mempengaruhi belajar selanjutnya;Siswa memperoleh pengetahuan baru dengan membentuk pengetahuan itu untuk dirinya sendiri;Pembentukan pengetahuan merupakan proses perubahan yang meliputi penambahan, kreasi, modifikasi, penghalusan, penyusunan kembali, dan penolakan; Pengetahuan baru yang dibangun oleh siswa untuk dirinya sendiri berasal dari seperangkat ragam pengalaman; Setiap siswa tanpa memandang ras, budaya dan jenis kelamin mampu memahami dan mengerjakan matematik (Zigma Edisi 10, 27 Juni 2007)
Pengajaran matematika dengan pendekatan Pendidikan Matematika Realistik meliputi aspek-aspek berikut  :   Memulai pelajaran dengan mengajukan masalah (soal) yang “riil” bagi siswa sesuai dengan pengalaman dan tingkat pengetahuannya, sehingga siswa segera terlibat dalam pelajaran secara bermakna; Permasalahan yang diberikan tentu harus diarahkan sesuai dengan tujuan yang ingin dicapai dalam pelajaran tersebut  Siswa mengembangkan atau menciptakan model-model simbolik secara informal terhadap persoalan/masalah yang diajukan (De Lange, 1995)
Berdasarkan uraian aspek-aspek di atas dapat disimpulkan bahwa pendekatan matematika realistik berlangsung secara interaktif, siswa mengajukan beberapa pertanyaan kepada guru, dan memberikan alasan terhadap pertanyaan atau jawaban yang diberikannya, memahami jawaban temannya (siswa lain), setuju terhadap jawaban temannya, menyatakan ketidaksetujuan, mencari alternatif penyelesaian yang lain dan melakukan refleksi terhadap setiap langkah yang ditempuh atau terhadap hasil pelajaran.
Prinsip-prinsip Dasar Matematika Realistik
Pendekatan Matematika Realistik (PMR) mempuinyai tiga prinsip kunci, yaitu :

• Guided Reinvention (menemukan kembali)/progressive Mathematizing (matematesasi progresif), yakni peserta didik diberikan kesempatan untuk mengalami proses yang sama sebagaimana konsep-konsep matematika ditemukan. Pembelajaran dimulai dengan suatu masalah kontekstual atau realistik yang selanjutnya melalui aktifitas siswa dikharapkan menemukan “kembali” sifat, defenisi, teorema atau prosedur-prosedur.
• Didaktical Phenomenology (fenomena didaktik). Situasi-situasi yang diberikan dalam suatu topik matematika atas dua pertimbangan, yaitu melihat kemungkinan aplikasi dalam pengajaran dan sebagai titik tolak dalam proses matematika.
• Self-developed Models (pengembangan model sendiri); kegiatan ini berperan sebagai jembatan antara pengetahuan informal dan matematika formal. Model dibuat siswa sendiri dalam memecahkan masalah. Model pada awalnya adalah suatu model dari situasi yang dikenal (akrab) dengan siswa. Dengan suatu proses generalisasi dan formalisasi, model tersebut akhinrya menjadi suatu model sesuai penalaran matematika (Anonim,  tt)

Karakteristik Matematika Realistik
Pembelajaran Matematika Realistik (PMR) memiliki 5 karakteristik, yaitu :

• Menggunakan konteks, Konteks yang dimaksud dalam penelitian ini adalah lingkuingan keseharian yang nyata (yang dikenal) siswa.
• Menggunakan model, Istilah model berkaitan dengan model situasi dan model matematik yang dikembangkan oleh siswa sendiri (self developed models). Artinya siswa membuat model sendiri dalam menyelesaikan masalah. Generalisasi dan formalisasi model tersebut akan berubah menjadi model-of masalah tersebut. Melalui penalaran matematik model-of akan bergeser menjadi model-for masalah yang sejenis (http/darsusianto-blogspot. Com 2007/08/matematika realistik/html).
•  Menggunakan kontribusi murid, Kontribusi yang besar pada proses belajar mengajar diharapkan dan konstruksi peserta didik sendiri yang mengarahkan mereka dari metode informai mereka ke arah yang lebih formal atau baku.
• Menggunakan Interaktif, Interaksi antar siswa dengan guru merupakan hal yang mendasar dalam PMR. Secara eksplisit bentuk-bentuk interaksi yang berupa penjelasan, pembenaran, setuju, tidak, pertanyaan atau refleksi digunakan untuk mencapai bentuk formal dari bentuk-bentuk informal siswa.
• Terintegrasi dengan topik pembelajaran lainnya, Topik-topik yang peneliti berikan dikaitkan dan diintegrasikan sehingga memunculkan pemahaman suatu konsep atau operasi secara terpadu, agar hal tersebut dapat memberikan kemungkinan efisien dalam mengajarkan beberapa topik pelajaran.

Langkah-Langkah dalam Pembelajaran Matematika Realistik

1. Adapun langkah-langkah dalam pembelajaran Matematika Realistik adalah sebagai berikut :
2. Memotivasi siswa (memfokuskan perhatian siswa)
3. Mengkomunikasikan tujuan pembelajaran
4. Memulai pelajaran dengan mengajukan masalah (soal) yang “riil” bagi siswa sesuai dengan pengalaman dan tingkat pengetahuannya, sehingga siswa segera terlibat dalam pelajaran secara bermakna
5. Permasalahan yang diberikan tentu harus diarahkan sesuai dengan tujuan yang ingin dicapai dalam pelajaran tersebut;
6. Siswa mengembangkan atau menciptakan model-model simbolik secara informal terhadap persoalan/masalah yang diajukan
7. Pengajaran berlangsung secara interaktif, siswa menjelaskan dan memberikan alasan terhadap jawaban yang diberikannya, memahami jawaban temannya (siswa lain), setuju terhadap jawaban temannya, menyatakan ketidaksetujuan, mencari alternatif penyelesaian yang lain; dan melakukan refleksi terhadap setiap langkah yang ditempuh atau terhadap hasil pelajaran.

KESIMPULAN

            Pendekatan matematika realistik berlangsung secara interaktif, siswa mengajukan beberapa pertanyaan kepada guru, dan memberikan alasan terhadap pertanyaan atau jawaban yang diberikannya, memahami jawaban temannya (siswa lain), setuju terhadap jawaban temannya, menyatakan ketidaksetujuan, mencari alternatif penyelesaian yang lain dan melakukan refleksi terhadap setiap langkah yang ditempuh atau terhadap hasil pelajaran.

PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADARAT MATEMATIKA SEKOLAH 2

PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADARAT

I.         PERSAMAAN KUADRAT

1.       Menemukan Konsep Persamaan Kuadrat

Banyak permasalahan dalam kehidupan yang pemecahannya terkait dengan konsep dan aturan-aturan dalam matematika. Secara khusus keterkaitan konsep dan prinsip-prinsip persamaan kuadrat, sering kita temukan dalam permasalahan kehidupan nyata yang menyatu/bersumber dari fakta dan lingkungan budaya kita. Konsep persamaan kuadrat dapat dibangun/ditemukan di dalam pemecahan permasalahan yang kita hadapi. Gunakan variabel untuk menyatakan masalah dalam matematika. Ingat konsep dan aturan-aturan apa saja yang terkait dengan masalah yang dihadapi supaya dapat terpecahkan.

Masalah:

Pak Anas memiliki tambak ikan mas di hulu sungai yang berada di belakang rumahnya. Setiap pagi, ia pergi ke tambak tersebut naik perahu melalui sungai yang berada di belakang rumahnya. Dengan perahu memerlukan waktu 1 jam lebih lama menuju tambak dari pada pulangnya. Jika laju air sungai 4 km/jam dan jarak tambak dari rumah 6 km, berapa laju perahu dalam air yang tenang?

Penyelesaian:

Misalkan V_a adalah kecepatan air sungai dengan V_a = 4 km/jam

    V_hu adalah kecepatan perahu kehulu

    V_hi adalah kecepatan perahu saat pulang

    V_t adalah kecepatan perahu dalam air tenang

    t₁ adalah waktu yang diperlukan menuju Tambak

    t₂ adalah waktu yang digunakan menuju rumah (pulang)

    S adalah jarak tambak dari rumah Pak Anas

Bagaimana kecepatan perahu saat pergi kehulu dan saat menuju hilir (pulang)?

Kecepatan perahu saat menuju hulu sungai menentang kecepatan air dan saat Pak Anas pulang, kecepatan perahu searah dengan kecepatan air sungai mengalir. Sehingga, Jika dimisalkan V_at = x km/jam maka

V_hu = x – 4 dan V_hi = x + 4

Diasumsikan perahu tidak pernah berhenti sebelum sampai di tujuan, berarti x ≠ – 4 dan x ≠ 4. 

matematika sekolah 2

t₁ - t₂ =     = 1

             −  = 1

6 (x + 4) – 6 (x – 4) = (x + 4) (x – 4)

    6x + 24 - 6x + 24 = x² + 4x – 4x - 16

   48 = x² – 16

\ x² – 64 = 0

x² – 64 = 0 ⇒ (x – 8) (x + 8) = 0

⇒ x - 8 = 0 atau x + 8 = 0

⇒ x = 8 atau x = -8

Kecepatan perahu di air tenang adalah Vat = x = 8 km/jam.

Nilai x = –8 tidak berlaku sebab kecepatan perahu bergerak maju selalu bernilai positif.

Definisi:

Persamaan kuadrat dalam x adalah suatu persamaan yang berbentuk ax² + bx + c = 0, dengan a, b, dan c bilangan real dan a ≠ 0.

Keterangan: x adalah variabel atau peubah

        a adalah koefisien dari x²

        b adalah koefisien dari x

        c adalah konstanta persamaan

Ciri-ciri persamaan kuadrat:

·         Sebuah persamaan

·         Pangkat tertinggi peubahnya adalah 2 dan pangkat terendah adalah 0

·         Koefisien variabelnya adalah bilangan real

·         Koefisien variabel berpangkat 2, tidak sama dengan nol

·         Koefisien variabel berpangkat 1 dan 0 dapat bernilai 0.

Contoh:

Sebuah bola bergerak dari ketinggian h m. Ketinggian bola dari tanah untuk setiap detiknya ditentukan fungsi waktu h(t) = 20t – 5t². Saat bola tiba di atas tanah, apa yang kamu temukan?

Penyelesaian:

Saat bola tiba di atas tanah, h(t) = 0.

h(t) = 0 ⇒ h(t) = 20t – 5t²= 0.

Persamaan 20t – 5t² = 0 termasuk persamaan kuadrat sebab persamaan 20t – 5t² = 0 dapat ditulis menjadi -5t² + 20t + 0 = 0, dengan koefisien a = -5 ≠ 0, b = 20 dan c = 0. Berdasarkan Definisi, persamaan 20t – 5t² = 0 merupakan persamaan kuadrat dengan satu variabel, yaitu t.

2.      Menentukan Akar-akar Persamaan Kuadrat

Ada beberapa cara (aturan) menentukan penyelesaian persamaan kuadrat. Aturan tersebut seluruhnya diturunkan dari konsep (Definisi) yang telah kita temukan. Aturan tersebut antara lain, cara memfaktorkan, melengkapkan kuadrat sempurna, dan rumus ABC. Ketiga aturan ini memiliki kelebihan dan kelemahan terkait dengan efisiensi waktu yang digunakan untuk menentukan akar-akar sebuah persamaan kuadrat.

1)        Cara Pemfaktoran

1)        Cara melengkapi kuadrat sempurna

Berdasarkan definisi kita memiliki bentuk umum persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 dengan a, b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0. Untuk a = 1, ax² + bx + c = 0

→ x² + bx + c – c = 0 – c

Þ x² + bx +  =  – c

II. FUNGSI KUADRAT

Menemukan Konsep Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat sering kita temukan dalam permasalahan kehidupan nyata yang menyatu pada fakta dan lingkungan budaya kita. Konsep fungsi kuadrat dapat ditemukan di dalam pemecahan permasalahan yang kita hadapi. Untuk itu perhatikan dengan cermat permasalahan-permasalahan yang diberikan.

Masalah:

Pak Ketut memiliki jaring jala sepanjang 60 m. Ia ingin membuat keramba ikan gurami dan udang. Kedua keramba ikan dibuat berdampingan. Misalkan panjang keramba y m dan lebarnya x m, serta kelilingnya keramba k m. Tentukanlah ukuran keramba agar luasnya maksimum!

Penyelesaian

Penampang permukaan keramba dapat digambarkan sebagai berikut.

                                y m

 

                                                               x m

Karena panjang jaring jala yang tersedia adalah 60 m maka keliling keseluruhan permukaan keramba ikan adalah

K = 2y + 3x = 60 ⇒ 2y = 60 – 3x ⇒ y = 30 – x

Luas keseluruhan permukaan keramba ikan adalah

L = panjang × lebar

L = y × x

y = 30 – x ⇒ L = y × x ⇒ L = (30 –x)x

  ⇒ L = 30x – x²

Karena luas permukaan keramba tergantung nilai x maka persamaan fungsi luas dapat dinyatakan sebagai berikut.

∴ L(x) = 30x –x², x ∈ R, x ≥ 0

Dengan mengambil beberapa harga x, diperoleh beberapa harga L dan disajikan pada tabel berikut

Tabel. Nilai L dengan x merupakan bilangan bulat genap positif

Nilai x	0	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20
Nilai y	0	54	96	126	144	150	144	126	96	54	0

Sekarang mari kita gambarkan grafik fungsi L(x) = 30x – x2 pada bidang koordinat dengan bantuan nilai-nilai x dan L yang ada pada tabel diatas.

Coba cermati harga-harga x dan L di dalam Tabel  dan grafik fungsi L(x) = 30x – x², x ≥ 0 memiliki ciri-ciri sebagai berikut.

a) Kurva terbuka ke bawah

b) Grafik memotong sumbu-x pada dua titik yang berbeda yaitu titik (0, 0) dan titik (20, 0).

c) Grafik fungsi mencapai puncak pada titik (10, 150).

d) Garis x = 10 membagi dua luas (sama besar) daerah di bawah kurva, sehingga garis x = 10 dapat dikatakan sebagai sumbu simetri grafik fungsi L(x) = 30x – x².

Berdasarkan grafik fungsi di atas, luas maksimum diperoleh saat lebar dan panjang permukaan keramba ikan, yaitu x = 10 m dan y = 15 m

x = 10 m dan y = 30 – 32x ⇒ y = 15 m

Luas maksimum permukaan keramba ikan adalah L= 150 m²

Definisi:

Fungsi kuadrat dalam x adalah suatu fungsi yang berbentuk f(x) = ax2 + bx + c, dengan a, b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0.

Misalkan A, B ⊂ R, didefinisikan fungsi

f : A → B, dengan f(x) = ax2 + bx + c; a, b, c ∈ R dan a ≠ 0.

Dengan : x adalah variabel bebas atau peubah bebas

   a adalah koefisien dari x2

   b adalah koefisien dari x

   c adalah konstanta persamaan

   f(x) adalah nilai fungsi yang tergantung pada nilai variabel x.

III.   Grafik Fungsi Kuadrat

Masalah:

Temukan grafik fungsi kuadrat y = f(x ) =  , x  R dari grafik fungsi kuadrat y = f(x) =  , x  R, x ≥ 0.

Penyelesaian:

Perhatikan fungsi kuadrat y = f(x) =  , x  R, x ≥ 0, yang menyatakan besarnya debit air yang mengalir dari pipa. Besarnya debit air yang mengalir dari pipa tergantung besarnya ukuran diameter (x) pipa. Jika x = 0, maka debit air adalah y = f(x) = f(0) = 0. Untuk beberapa nilai x diberikan, diperoleh nilai y = f(x) disajikan dalam tabel berikut.

x	0	1	2	3	4
y = f(x)	0	3,51	14,04	31,6	56,17

Grafik persamaan fungsi kuadrat y = f(x) =  , x  R, x ≥ 0, dapat digambarkan sebagai berikut.

CARA MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI KUADRAT

Fungsi kuadrat adalah suatu fungsi matematika yang memiliki derajat dua dengan bentuk umum F(x) = y = ax2 + bx + c dengan a ≠ 0. Pada fungsi tersebut, a,b, dan c merupakan konstanta real. Jika digambarkan ke dalam grafik, maka bentuk fungsi kuadrat akan menyerupai parabola. Karakteristik dan bentuk grafik fungsi kuadrat bergantung pada nilai konstanta a,b,c, dan nilai diskriminannya. Untuk menyelesaikan persoalan mengenai fungsi kuadrat sudah tentu pemahaman kita tentang persamaan kuadrat yang telah lebih dahulu kita pelajari akan sangat membantu. Ketika kita akan menentukan titik potong parabola terhadap sumbu x, maka metode menentukan akar-akar persamaan kuadrat haruslah kita kuasai baik itu metode pemfaktoran maupun metode rumus abc. Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat Pada dasarnya menggambar grafik fungsi kuadrat sama halnya dengan menggambar grafik persamaan garis lurus. Hal yang harus kita lakukan adalah menentukan titik potong terhadap sumbu x dan sumbu y. Akan tetapi, pada fungsi kuadrat, selain mencari titik potong fungsi terhadap sumbu x dan sumbu y, kita juga harus mencari sumbu simetris dan titik baliknya terlebih dahulu. Kita juga dapat menentukan tiitk lain sebagai bantuan dalam menarik garis membentuk parabola. Sesuai dengan skema pada gambar di atas, berikut langkah-langkah dalam menggambar grafik fungsi kuadrat : Tentukan titik potong dengan sumbu x (jika ada) Titik potong terhadap sumbu x berarti fungsi kuadrat bernilai nol. Secara matematis dapat ditulis sebagai berikut : F(x) = y ⇒ ax2 + bx + c = 0 Untuk mendapatkan titik potong tersebut tentu kita harus mencari akar-akar persamaan kuadrat sehingga diperoleh x1 dan x2. Titik potong dengan sumbu x akan menjadi (x1,0) dan (x2,0). Tentukan titik potong dengan sumbu y Untuk memperoleh titik potong dengan sumbu y, maka kita masukkan nilai x = 0 ke dalam fungsi kuadrat, sehingga secara matematis diperoleh : F(x) = y ⇒ y = a(0)2 + b(0) + c ⇒ y = c Dengan begitu maka titik potong terhadap sumbu y akan menjadi (0,c). Tentukan titik balik atau titik puncak parabola Titik balik juga sering disebut titik ekstrim. Titik ini merupakan titik acuan kita untuk menggambar parabola. Dengan mengetahui titik puncak parabola maka kita akan mengetahui arah grafik parabola tersebut apakah terbuka ke atas atau terbuka ke bawah. Secara matematis titik balik dapat dihitung dengan rumus : Titik balik = (x,y) = (-b/2a, D/-4a) dengan : x = -b/2a = sumbu simetris parabola y = D/-4a = puncak parabola D = diskriminan persamaan kuadrat = b2 - 4ac Pada tahap ini terdapat beberapa pedoman yang dapat kita jadikan acuan yaitu : ⇒ jika a > 0 → grafik terbuka ke atas , titik balik minimum. ⇒ jika a < 0 → grafik terbuka ke bawah , titik balik maksimum. ⇒ jika ab > 0 → titik balik terletak di kiri sumbu y. ⇒ jika ab < 0 →titik balik terletak di kanan sumbu y. ⇒ jika b = 0 → titik balik ada di sumbu y. ⇒ jika c > 0 → grafik memotong sumbu y di atas sumbu x. ⇒ jika c < 0 → grafik memotong sumbu y di bawah sumbu x. ⇒ jika c = 0 → grafik melalui titik (0,0). Tarik garis berbentuk parabola yang sesuai Langkah terakhir tariklah garis yang menghubungkan titik-titik yang telah kita tentukan sehingga dihasilkan grafik berbentuk parabola. Agar tidak terlalu sulit kita dapat menggunakan titik bantu dan tetap memperhatikan pedoman pada point 3 di atas. Sifat Grafik Fungsi Kuadrat Berdasarkan Diskriminan Berdasarkan nilai diskriminannya, terdapat beberapa sifak khusus grafik fungsi kuadrat, yaitu : ⇒ jika D > 0 → grafik memotong sumbu x di dua titik yaitu x1 dan x2. ⇒ jika D = 0 → grafik parabola menyinggung sumbu x. ⇒ jika D < 0 → grafik parabola tidak memotong sumbu x. Note : Sifat-sifat grafik parabola pada gambar di atas bukanlah hal mutlak karena gambar itu hanya untuk menunjukkan titik puncak, letak titik puncak, dan arah parabola terbuka ke atas atau ke bawah. Pada dasarnya grafik fungsi kuadrat bergantung pada konstanta dan diskriminannya jadi gambar di atas hanya sebagai acuan secara umum dan tentu saja berbeda untuk tiap-tiap harga konstanta c. 

Dengan mencerminkan grafik persamaan fungsi kuadrat y = f(x) =  , x  R, x ≥ 0, terhadap Sumbu-y, maka diperoleh sebuah parabola berikut.

Ciri-ciri fungsi kuadrat y = f(x) =  , x  R, dan parabola di atas adalah sebagai berikut.

·         Koefisien x² adalah a =  > 0

·         Kurva terbuka ke atas

·         Memiliki titik puncak (titik balik minimum) di titik O (0, 0)

·         Memiliki sumbu simetri yang membagi dua daerah kurva sama besar, yaitu garis x = 0 dan nilai minimum y = f(0) = 0

·         Nilai diskriminan, D = b² – 4ac = 0

·         Kurva menyinggung sumbu x pada titik O(0, 0)

Selanjutnya kita cerminkan grafik fungsi kuadrat y = f(x) =  , x  R, terhadap Sumbu-x atau garis y = 0. Dengan mengingat kembali sifat-sifat pencerminan bahwa arah benda dengan bayangannya selalu berlawanan arah. Sehingga nilai fungsi kuadrat y = f(x) =  , x  R, berubah dari bernilai positif menjadi negatif. Perubahan tersebut diikuti oleh perubahan fungsinya dari y = f(x) =  , x  R, menjadi y = f(x) =  , x  R. Secara lengkap bayangan grafik persamaan fungsi kuadrat y = f(x) setelah dicerminkan terhadap Sumbu −x adalah sebagai berikut

Ciri-ciri fungsi kuadrat y = f(x) =  , x  R dan parabola hasil pencerminan terhadap sumbu −x adalah

·         Koefisien x² adalah a =  < 0

·         Kurva terbuka ke bawah

·         Memiliki titik puncak (titik balik maksimum) di titik O (0, 0)

·         Memiliki sumbu simetri yang membagi dua daerah kurva sama besar, yaitu garis y = 0 dan nilai minimum f(0) = 0

·         Kurva menyinggung Sumbu x pada titik O(0, 0)

·         Nilai diskriminan, D = b² – 4ac = 0

Kesimpulan dari hasil pencerminan:

Misalkan g(x) = ax2, x ∈ R, jika dicerminkan terhadap Sumbu-x maka diperoleh g*(x) = -ax2, x ∈ R dengan sumbu simetri adalah Sumbu-y dan memiliki titik puncak O (0, 0).

Grafik fungsi kuadrat f(x) = ax² + bx + c, dengan a, b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0, memiliki:

a.       Persamaan sumbu simetri x =  dan

b.      Titik puncak P .

Dari beberapa sajian grafik persamaan fungsi kuadrat, sifat-sifat grafik persamaan fungsi kuadrat menyajikan beberapa kemungkinan kondisi grafik tersebut terkait dengan koefisien x² , nilai diskriminan dan nilai fungsi tersebut.

Dari fungsi kuadrat f(x) = a +  dengan a, b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0, dapat diturunkan beberapa sifat.

°         Jika a > 0, maka grafik persamaan fungsi kuadrat f(x) = ax² + bx + c, , dengan a, b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0 terbuka ke atas dan memiliki titik balik minimum P

°         Jika a < 0, maka grafik persamaan fungsi kuadrat f(x) = ax² + bx + c, , dengan a, b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0 terbuka ke atas dan memiliki titik balik maksimum P

Grafik fungsi kuadrat f(x) = ax² + bx + c, dengan a, b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0. Misal D = b² – 4ac (D adalah diskriminan)

a.       Jika D > 0 maka grafik y = f(x) memotong Sumbu-x pada dua titik berbeda

b.      Jika D = 0 maka grafik y = f(x) menyinggung Sumbu-x pada satu titik

c.       Jika D < 0 maka grafik y = f(x) tidak memotong Sumbu-x

Pada gambar berikut diperlihatkan berbagai kemungkinan letak parabola terhadap Sumbu-x

Sehingga dapat disimpulkan bahwa langkah-langkah yang diperlukan untuk membuat sketsa grafik fungsi kuadrat y = ax² + bx adalah sebagai berikut:

a. Menentukan titik potong dengan sumbu x, diperoleh jika y = 0.

b. Menentukan titik potong dengan sumbu y, diperoleh jika x = 0.

c. Menentukan persamaan sumbu simetri x =

d. Menentukan nilai ekstrim grafik y =  

e. Koordinat titik balik sebuah grafik fungsi kuadrat adalah .

Selain itu fungsi kuadrat memiliki bentuk umum dengan a, b, c ∈ R dan a ≠ 0. Dari bentuk aljabar tersebut, grafik fungsi kuadrat dapat diilustrasikan sebagi bentuk lintasan lengkung atau parabola dengan karakteristik grafik fungsi kuadrat sebagai berikut.

a. Jika a > 0, maka parabola terbuka ke atas.

b. Jika a < 0, maka parabola terbuka ke bawah.

c. Jika D < 0, maka parabola tidak memotong maupun menyinggung sumbu x.

d. Jika D = 0, maka parabola menyinggung sumbu x.

e. Jika D > 0, maka parabola memotong sumbu x di dua titik.

Contoh soal grafik fungsi

Koordinat titik puncak (-2, 16)

Persamaan grafik fungsi : y = a(x+2)² 16

Grafik fungsi melalui titik (-6, 0)

0 = a(-6 + 2)² + 16

0 = a(-4)² + 16

0 = a.16 +16

-16 = a.16

a = -1

jadi persamaan grafik fungsi itu :

y = a(x + 2)² +16

   = -1(x + 2)² +16

   = -1(x² + 4x – 4 + 16)

   = -x² – 4x – 4 +16

   = -x² – 4x + 12

   = 12 – 4x – x²

IV. Hubungan Persamaan Kuadrat dan Fungsi Kuadrat

Konsep persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat sebagai berikut:

·      Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan aljabar yang dinyatakan dalam bentuk

ax² + bx + c = 0, dengan a, b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0.

·      Fungsi kuadrat adalah suatu fungsi yang dinyatakan dalam bentuk f(x) = ax² + bx + c, dengan a, b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0.

Daftar Pustaka

http://bahanbelajarsekolah.blogspot.co.id/2014/12/cara-menggambar-grafik-fungsi-kuadrat.html?en diakses tanggal 4 oktober 2015

Materi :

·         Mengidentifikasi dan menerapkan konsep fungsi dan persamaan kuadrat dalam menyelesaikan masalah nyata dan menjelaskannya secara lisan dan tulisan

·         Menyusun model matematika dari masalah yang berkaitan dengan persamaan dan fungsi kuadrat dan menyelesaikan serta memeriksa kebenaran jawabannya

·         Menggambar dan membuat sketsa grafik fungsi kuadrat dari masalah nyata berdasarkan data yang ditentukan dan menafsirkan karakteristiknya

·         Mengidentifikasi hubungan fungsional kuadratik dari fenomena sehari-hari dan menafsirkan makna dari setiap variabel yang digunakan