PMR Pembelajaran Matematika Realistik

Pembelajaran Matematika dengan Pendekatan Matematika Realistik (PMR)

1. Pengertian Pendekatan Matematika Realistik (PMR)

            PMR awalnya dikembangkan di Negeri Belanda. Pendekatan ini didasarkan pada konsep Freudenthal yang berpendapat bahwa matematika merupakan aktivitas manusia. Dengan ide utamanya adalah bahwa siswa harus diberi kesempatan untuk menemukan kembali (reinvent) ide dan konsep matematika dengan bimbingan orang dewasa (Gravemeijer, 1994). Usaha untuk membangun kembali ide dan konsep matematika tersebut melalui penjelajahan berbagai situasi dan persoalan-persoalan realistik. Realistik dalam pengertian bahwa tidak hanya situasi yang ada di dunia nyata, tetapi juga dengan masalah yang dapat mereka bayangkan (Heuvel, 1998).

            Dan saat ini pembelajaran masih didominasi oleh guru, siswa kurang dilibatkan sehingga terkesan monoton dan timbul kejenuhan pada siswa. Pembelajaran Matematika Realistik (PMR) adalah suatu teori dalam pendidikan matematika yang dikembangkan pertama kali di negeri Belanda pada tahun 1970 oleh Institut Freudenthal. Matematika realistik yang dimaksudkan dalam hal ini adalah matematika sekolah yang dilaksanakan dengan menempatkan realitas dan pengalaman siswa sebagai titik awal pembelajaran (Gravemeijer: 1994).

2. Karakteristik Perkembangan Matematika Realistik

            Dalam PMR, pembelajaran diawali dengan masalah kontekstual (dunia nyata), sehingga memungkinkan mereka menggunakan pengalaman sebelumnya secara langsung dan siswa akan mengembangkan konsep yang lebih komplit. Kemudian, siswa dapat mengaplikasikan konsep-konsep matematika ke bidang baru dari dunia nyata.

Problem posing

PROBLEM POSING

A.    PENGERTIAN PROBLEM POSING

Problem posing adalah istilah dalam bahasa inggris yaitu dari kata “Problem” artinya masalah, soal, atau persoalan dan kata “to pose” yang artinya mengajukan. Problem posing bisa diartikan sebagai pengajuan soal atau pengajuan masalah. Problem posing adalah salah satu model pembelajaran yang sudah lama dikembangkan, Huda (2013: 276) menyatakan bahwa problem posing merupakan istilah yang pertama kali dikembangkan oleh ahli pendidikan asal Brazil, Paulo Freire.

Suryanto (Thobroni dan Mustofa 2012 : 343) mengartikan bahwa kata problem sebagai masalah atau soal sehingga pengajuan masalah dipandang sebagai suatu tindakan merumuskan masalah atau soal dari situasi yang diberikan. Selanjutnya, Amri (2013 :13) menyatakan bahwa pada prinsipnya, model pembelajaran problem posing mewajibkan siswa untuk mengajukan soal sendiri melalui belajar soal dengan mandiri. Sejalan dengan pendapat tersebut, Thobroni dan Mustofa (2012 : 351) menyatakan bahwa model pembelajaran problem posing adalah suatu model pembelajaran yang mewajibkan para siswa untuk mengajukan soal sendiri melalui belajar soal (berlatih soal) secara mandiri. Berdasarkan pendapat para ahli di atas, dapat disimpulkan bahwa model problem posing adalah model pembelajaran yang mewajibkan siswa belajar melalui pengajuan soal dan pengerjaan soal secara mandiri tanpa bantuan guru.

Rente Pembelajaran Matematika

1)   Pengertian dan macam-macam Rente

Andaikan anda menyimpan sejumlah uangnya setiap awal bulan di bank dengan jumlah yang sama, dan bank memberikan bunga terhadap simpanan anda. Setelah sekian bulan anda akan menghitung jumlah tabungan yang telah tersimpan. Andaikan bank tidak membebani biaya administrasi, dapatkah anda menghitung jumlah keseluruhan simpanan uang anda? Untuk menghitung jumlah tabungan dari ilustrasi di atas. dibutuhkan ilmu tentang Rente.

Rente adalah sederatan modal atau angsuran yang dibayarkan atau diterima pada setiap jangka waktu tertentu yang tetap besarnya.

Pada hakikatnya ada tiga macam rente, yaitu:

a.    Rente berdasarkan saat pembayaran angsuran terdiri dari:

·      Rente Pra numerando adalah rente yang dibayarkan atau diterima di awal periode.

·      Rente Post Numerando adalah rente yang dibayarkan atau diterima di akhir periode.

b.    Rente berdasarkan banyaknya angsuran terdiri dari:

·      Rente terbatas adalah rente yang jumlah angsurannya terbatas.

·      Rente kekal adalah rente yang jumlah angsurannya tidak terbatas.

c.    Rente berdasarkan langsung tidaknya pembayaran pertama terdiri dari:

·      Rente langsung adalah rente yang pembayaran pertamanya langsung sesuai perjanjian.

·      Rente yang ditangguhkan adalah rente yang pembayaran pertamanya ditangguhkan beberapa periode.

2)   Nilai Akhir Rente Pra numerando

Rente Pra numerando adalah rente yang dibayarkan di awal periode, sehingga angsuran terakhir sudah mengalami pembungaan satu periode.

Misalkan modal yang dibayarkan adalah M dengan bunga i%/periode selama n periode, maka proses pembungannya perhatikan skema di bawah ini:

Jika Nilai akhir Rente Pra numerando dilambangkan dengan Na, dari skema di atas diperoleh suatu deret, yaitu:

Na = M(1 + i) + M(1 + i)² + . . . + M(1 + i)^{n – 2}  + M(1 + i)^{n – 1} + M(1 + i)ⁿ

Ternyata deret di atas adalah deret geometri dengan suku pertama a = M(1 + i) dan

Nilai akhir rente Pra numerando dengan angsuran M dan suku bunga i% Selama n periode adalah:

Dengan menggunakan tabel:

Na = M x Daftar Nilai akhir rente

Keterangan:

·      Daftar nilai akhir rente adalah daftar V dan VI pada lampiran buku ini

·      Nilai dari daftar adalah kolom ke-i % dan baris ke-n

Contoh 1

Setiap awal tahun Nisa menyimpan uang di Bank ABC sebesar Rp1.000.000,00. Jika bank memberikan bunga 6%/tahun, tentukan uang Nisa setelah menabung 20 tahun!

Jawab:

M  = Rp1.000.000.00

i    = 6% / tahun = 0.06/tahun

n   = 20 tahun

Dengan Daftar :

Na = Modal x Tabel VI kolom 6% dan baris 20

       = Rp1.000.000 x 38,99272668

       = Rp38.992.726,68

3)   Nilai Akhir Rente Post Numerando

Rente Post Numerando adalah rente yang dibayarkan di akhir periode, sehingga angsuran terakhirnya tidak mengalami pembungaan.

Misalkan modal yang dibayarkan adalah M dengan bunga i%/periode selama n periode, maka proses pembungaannya perhatikan skema di bawah ini:

Jika Nilai akhir Rente Post Numerando dilambangkan dengan Na, dari skema di atas

diperoleh suatu deret, yaitu:

Na = M + M(1 + i) + M(1 + i)² . . . + M(1 + i)^{n – 3} + M(1 + i)^{n – 2} + M(1 + i)^n-1

Ternyata deret di atas adalah deret geometri dengan suku pertama a = M dan rasio

r

Nilai akhir rente Post Numerando dengan angsuran M dan suku bunga i% Selama n periode adalah:

Dengan menggunakan tabel:

Na = M + M x Daftar Nilai akhir rente

Keterangan:

Daftar nilai akhir rente adalah daftar V dan VI pada lampiran buku ini.

Nilai dari daftar adalah kolom ke-i % dan baris ke-(n – 1).

Contoh 2

Setiap akhir bulan Yenny menyimpan uang di bank Rp500.000,00 selam 2 tahun. Jika bank memberikan suku bunga 1.5%/bulan, tentukan simpanan total Yenny di bank tersebut!

4)   Nilai Tunai Rente Pra Numerando

Nilai tunai rente Pra numerando adalah jumlah semua nilai tunai angsuran yang dihitung pada awal masa bunga yang pertama. Nilai tunai angsuran pertama adalah nilai angsuran itu sendiri, yaitu M:

Jika Nilai tunai Rente Pra numerando dilambangkan dengan Nt, dari skema di atas. diperoleh suatu deret, yaitu:

Nt = M + M(1 + i)^–1 + M(1 + i)^–2 . . . + M(1 + i)^n–3 + M(1 + i)^n–2 + M(1 + i)^n–1

Deret  di  atas  adalah  deret  geometri  dengan  suku  pertama  a  =  M  dan  rasio

Nilai tunai rente Pra numerando dengan angsuran M dan suku bunga i% selama n periode adalah:

 

Dengan menggunakan daftar:

Nt = M + M x Daftar Nilai tunai rente

Keterangan:

Daftar nilai tunai rente adalah daftar VII dan VIII pada lampiran buku ini.

Nilai dari daftar adalah kolom ke-i % dan baris ke-(n – 1).

Contoh 3

Tentukan nilai tunai rente Pra numerando dari suatu angsuran Rp4.000.000,00 selama 20 tahun dengan suku bunga 9%/tahun!

 

Jawab:

M  = Rp4.000.000,00

i    = 9%/tahun = 0.09/tahun

 

5)   Nilai Tunai Rente Post numerando

Perhatikan skema jumlah semua nilai tunai total di bawah ini:

Jika nilai tunai Rente Post Numerando dilambangkan dengan Nt, dari skema di atas

diperoleh suatu deret, yaitu:

Nt = M(1 + i)^–1 + M(1 + i)^–2 . . . + M(1 + i)^n–2 + M(1 + i)^n–1 + M(1 + i)ⁿ

Deret di atas adalah deret geometri dengan suku pertama a = M(1 + i)^–1  dan rasio

Nilai tunai rente Post Numerando dengan angsuran M dan suku bunga i% selama n periode adalah:

Dengan menggunakan tabel:

Nt = M x Daftar Nilai tunai rente

Keterangan:

·         Daftar nilai tunai rente adalah daftar VII dan VIII pada lampiran buku ini.

·         Nilai dari daftar adalah kolom ke-i % dan baris ke-n.

Contoh 4

Tentukan nilai tunai rente Post Numerando dari suatu modal Rp300.000/bulan selama 2.5 tahun dengan suku bunga 1.75%/bulan!

 

Contoh 5

Tiap akhir bulan Yayasan Cinta Damai mendapatkan sumbangan dari Badan Perdamaian Dunia sebesar Rp5.000.000,00 selama 3 tahun berturut-turut. Jika sumbangan akan diberikan sekaligus dan dikenai bunga sebesar 2%/bulan, tentukan sumbangan total yg diterima yayasan!

Jawab:

M  = Rp5.000.000,00

i    = 2% / bulan = 0.02/ bulan

n   = 3 tahun = 36 bulan

Dengan daftar:

Nt      = M x daftar VII kolom 2% dan baris 30

= 5.000.000.00 x 22,396455551

= Rp111.982.277,80

6)   Nilai Tunai Rente Kekal

Rente kekal adalah rente yang jumlah angsurannya tidak terbatas. Nilai akhir rente merupakan deret geometri naik. Oleh karena itu rente kekal tidak ada nilai akhirnya. Nilai tunai rente merupakan deret geometri turun, sehingga nilai tunai rente kekal memiliki nilai.

a.    Nilai Tunai Rente Kekal Pra numerando

Deret nilai tunai modal rente Pra numerando yang sudah dipelajari adalah:

Nt = M + M(1 + i)^–1 + M(1 + i)^–2 . . . + M(1 + i)^n–3 + M(1 + i)^n–2 + M(1 + i)^n–1

Jika jumlah angsurannya tidak terbatas, maka deret di atas menjadi deret geometri takberhingga, yaitu:

Contoh 6

Tentukan nilai tunai Rente kekal Pra numerando dari suatu modal Rp500.000,00/bulan dengan suku bunga 2.5%/bulan!

Jawab:

M = Rp500.000,00

i  = 2.5%/bulan = 0.025/bulan

Contoh 7

Setiap awal bulan, Fulan akan mendapatkan beasiswa dari PT UNILEVER sebesar Rp175.000,00 dalam jangka waktu yang tak terbatas. PT.UNILEVER tak mau repot. Oleh karena itu, beasiswa akan diberikan sekaligus namun harus dikenai bunga sebesar 1%/ bulan. Tentukan beasiswa total yg diterima Fulan!

Jawab:

Soal di atas merupakan rente kekal pra numerando karena memuat kata ” setiap awal bulan “ dan “ jangka waktu yang tak terbatas”.

 

Rangkuman

1.    Nilai akhir rente pra numerando dengan angsuran M dan suku bunga i% selama n periode adalah:

Dengan menggunakan tabel:

Na = M x Daftar Nilai akhir rente

Nilai dari daftar adalah kolom ke-i % dan baris ke-n

2.    Nilai akhir rente post numerando dengan angsuran M dan suku bunga i% Selama n periode adalah:

Dengan menggunakan daftar:

Nilai dari daftar adalah kolom ke-i % dan baris ke-(n – 1).

3.    Nilai tunai rente pra numerando dengan angsuran M dan suku bunga i% Selama n periode adalah:

Dengan menggunakan daftar:

Nt = M + M x Daftar Nilai tunai rente

Nilai dari daftar adalah kolom ke-i % dan baris ke-(n – 1).

4.    Nilai tunai rente post numerando dengan angsuran M dan suku bunga i% Selama n periode adalah:

Dengan menggunakan daftar:

Nt = M x Daftar Nilai tunai rente

Nilai dari daftar adalah kolom ke-i % dan baris ke-n.

5.    Nilai tunai rente kekal Pra numerando dengan angsuran M dan suku bunga i% adalah:

6.    Nilai tunai rente Post numerando dengan angsuran M dan suku bunga i%:

7.    Kata-kata yang dapat membantu untuk membedakan masing-masing rente dalam soal-soal verbal antara lain:

·         Rente pra numerando: di awal bulan, di awal tahun, dan lain-lain.

·         Rente post numerando: di akhir bulan, di akhir tahun, dan lain-lain.

·         Nilai akhir rente: menyimpan, menabung, dan lain-lain.

·         Nilai tunai rente: menerima, mendapat, dan lain-lain.

·         Rente kekal: selama-lamanya, abadi, jangka waktu yang tidak terbatas, dan lain-lain.