Model Transpotasi Dalam Program Linier

Model Transportasi - merupakan perluasan dari persoalan LP, dalam model transportasi dibahas mengenai penentuan rencana biaya minimum (minimum cost) untuk transportasi (pengangkutan) single commodity dari sejumlah lokasi sumber (sources) seperti pabrik, lokasi penambangan, pelabuhan, dsb ke sejumlah lokasi tujuan (destinations) seperti gudang, pusat distribusi, wilayah pemasaran, dsb.

·       Model transportasi dapat juga digunakan untuk persoalan inventory controll, employment schedulling, personal assignment, dsb.

·       Pada dasarnya masalah transportasi merupakan masalah LP yang dapat diselesaikan dengan metode simpleks. Karena metode simpleks menimbulkan penyelesaian yang lebih sulit, maka penyelesaian masalah transportasi akan lebih mudah dengan menggunakan metode Stepping Stone, Vogel’s Approximation Methods (VAM), dan metode MODI (Modified Distribution).

·       Agar suatu masalah transportasi dapat dibuat model transportasi dan tabel transportasinya, maka masalah transportasi tersebut harus memiliki data mengenai tingkat supply atau kapasitas setiap lokasi sumber, tingkat demand setiap lokasi tujuan, dan biaya transportasi per unit komoditas dari setiap lokasi sumber ke lokasi tujuan.

·       Karena hanya terdiri dari satu komoditi (single commodity), maka suatu lokasi tujuan dapat memenuhi permintaannya dari satu lokasi sumber.  Tujuan dari model transportasi adalah menentukan jumlah yang dapat dikirim dari setiap lokasi sumber ke setiap lokasi tujuan yang memberikan total biaya transportasi minimum.

·       Suatu perusahaan memiliki tiga pabrik yang berlokasi di tiga kota yang berbeda dengan kapasitas produksi per bulan adalah : Pabrik A = 90, Pabrik B = 60, dan Pabrik C = 50.  Perusahaan tersebut juga mempunyai tiga gudang penyimpanan hasil produksinya yang berlokasi di tiga kota yang berbeda dengan jumlah permintaan per bulan adalah : Gudang I = 50, Gudang II = 110, dan Gudang III = 40. Diketahui biaya transportasi dari setiap pabrik ke setiap Gudang adalah sebagai berikut :

	Gudang I	Gudang II	Gudang III
Pabrik A	20	5	8
Pabrik B	15	20	10
Pabrik C	25	10	19

     Tentukan total biaya transportasi minimum dengan menggunakan (a) metode Stepping Stone, (b) VAM, dan (c) Metode MODI

·       JAWAB : 

Periksa dulu apakah Total Demand (TD) dengan Total Supply (TS) sama atau tidak. 

Jika TD = TS, maka dikatakan Tabel Transportasi seimbang (equilibrium), jadi tidak perlu ada kolom dummy (tujuan dummy) maupun baris dummy (sumber dummy).

Jika TD > TS, maka perlu diseimbangkan dengan menambahkan baris dummy (sumber dummy).

Jika TD < TS atau TS > TD, maka perlu diseimbangkan dengan menambahkan kolom dummy atau tujuan dummy.

Dalam soal ini TD = 200 dan TS = 200, jadi tidak perlu ada kolom maupun baris dummy.

Tentukan tabel transportasi awal dengan metode NWC (North-West Corner), sehingga diperoleh :

                                                         Lokasi Tujuan (Destination)

	Gudang I		Gudang II		Gudang III		TOTAL SUPPLY
PABRIK A	50	20	40	5		8	90
PABRIK B		15	60	20		10	60
PABRIK C		25	10	10	40	19	50
TOTAL DEMAND	50		110		40		200

TC₀ = 50(20) + 40(5) + 60(20) + 10(10) + 40(19) = 3260

Metode Stepping Stone adalah metode untuk mendapatkan solusi optimal masalah transportasi (TC yang minimum), metode ini bersifat trial and error, yaitu dengan mencoba-coba memindahkan sel yang ada isinya (stone) ke sel yang kosong (water).  Tentu saja pemindahan ini harus mengurangi biaya, untuk itu harus dipilih sedemikian rupa sel-sel kosong yang biaya transportasinya kecil dan memungkinkan dilakukan pemindahan.

Kita mulai dari sudut kiri atas (NWC), sel B – I akan kita isi, jika satu unit dipindahkan dari sel A – I ke sel B – 1 dan supaya tetap jumlahnya seimbang berarti satu unit juga dipindahkan dari sel B – II ke sel A – II, maka biaya transportasi akan berkurang sebanyak (20 – 15) + (20 – 5) = 20.  Jika dipindahkan sebanyak 50, maka total biaya transportasi akan berkurang sebanyak 1000.

Selanjutnya diperoleh Tabel Transportasi perbaikan yang pertama, sebagai berikut:

Tabel Transportasi Perbaikan Pertama 

                                                     Lokasi Tujuan (Destination)

	Gudang I		Gudang II		Gudang III		TOTAL SUPPLY
PABRIK A		20	90	5		8	90
PABRIK B	50	15	10	20		10	60
PABRIK C		25	10	10	40	19	50
TOTAL DEMAND	50		110		40		200

TC₁ = 90(5) + 50(15) + 10(20) + 10(10) + 40(19) = 2260

Selanjutnya kita pilih sel dengan biaya transportasi terkecil dan memungkinkan dilakukan pemindahan.  Dalam hal ini kita pindahkan satu unit dari sel C – III ke sel A – III agar jumlahnya tetap seimbang dipindahkan juga satu unit dari sel A – II ke sel C – II.  Pemindahan ini mengurangi biaya (19 – 8) + ( 5 – 10) = 6.  Jika dipindahkan sebanyak 40, maka total biaya transportasi berkurang sebanyak 240. Selanjutnya diperoleh Tabel Transportasi perbaikan kedua sebagai berikut:

Tabel Transportasi Perbaikan Kedua

                                                     Lokasi Tujuan (Destination)

	Gudang I		Gudang II		Gudang III		TOTAL SUPPLY
PABRIK A		20	50	5	40	8	90
PABRIK B	50	15	10	20		10	60
PABRIK C		25	50	10		19	50
TOTAL DEMAND	50		110		40		200

TC₂ = 50(5) + 40(8) + 50(15) + 10(20) + 50(10) = 2020

Selanjutnya jika dipindahkan satu unit dari sel B – II ke sel B – III agar jumlahnya tetap seimbang dipindahkan juga sebanyak satu unit dari sel A – III ke sel A – II. Pemindahan ini mengurangi biaya (20 – 10) + (8 – 5) = 13.  Jika dipindahkan sebanyak 10 unit, maka total biaya transportasi akan berkurang sebanyak 130.

 Tabel Transportasi Perbaikan Ketiga

                                                     Lokasi Tujuan (Destination)

	Gudang I		Gudang II		Gudang III		TOTAL SUPPLY
PABRIK A		20	60	5	30	8	90
PABRIK B	50	15		20	10	10	60
PABRIK C		25	50	10		19	50
TOTAL DEMAND	50		110		40		200

TC₃ = 60(5) + 30(8) + 50(15) + 10(10) + 50(10) = 1890

Jadi Total biaya transportasi mínimum (solusi optimal) yang diperoleh dengan metode Stepping Stone sebesar 1890.

VAM (Vogel’s Approximation Methods) adalah metode untuk mendapatkan solusi optimal masalah transportasi (TC mínimum).  Metode ini bersifat semi eksak dan lebih eksak dibanding Metode Stepping Stone.  Metode ini menerapkan algoritma sebagai berikut: (1) Tentukan perbedaan dua biaya terkecil untuk masing-masing kolom dan baris, (2) Tentukan perbedaan terbesar hasil langkah ke – 1, (3) Tentukan sel yang akan diisi dengan cara memilih sel yang memiliki biaya transportasi terkecil pada kolom atau baris terpilih pada langkah   ke – 2, dan (4) hapuslah baris atau kolom yang salah sel-selnya telah disisi dengan kapasitas penuh (sama dengan TS atau TD).  Ulangi algoritma tersebut sampai dengan TS dan TD habis disikan ke sel-sel yang telah ditentukan.  

Perhatikan Tabel Biaya Transportasi sebagai berikut:

Tabel 1

	Gudang I	Gudang II	Gudang III	Total Supply (TS)	Beda Baris (BB)
Pabrik A	20	5	8	90	3
Pabrik B	15	20	10	60	5
Pabrik C	25	10	19	50	9
Total Demand (TD)	50	110	40	200
Beda Kolom (BK)	5	5	2

Perhatikan Tabel  1 tersebut BB dan BK terbesar adalah 9, jadi terpilih baris C. Pada baris C biaya terkecil adalag 10, berarti sel C – II diisi sebanyak 50. Jadi TD Gudang II bersisa 60 dan TS Pabrik C habis, sehingga baris C dihapus.  Tabelnya menjadi:

Tabel 2

	Gudang I	Gudang II	Gudang III	Total Supply (TS)	Beda Baris (BB)
Pabrik A	20	5	8	90	3
Pabrik B	15	20	10	60	5
Total Demand (TD)	50	60	40	150
Beda Kolom (BK)	5	15	2

Perhatikan Tabel 2 tersebut BB dan BK terbesar adalah 15, jadi terpilih kolom II. Pada Kolom II biaya terkecil adalah 5, berarti sel A – II diisi sebanyak 60. Jadi TS Pabrik A bersisa 30 dan TD Gudang II habis, sehingga Kolom II dihapus.  Tabelnya menjadi:

Tabel 3

	Gudang I	Gudang III	Total Supply (TS)	Beda Baris (BB)
Pabrik A	20	8	30	12
Pabrik B	15	10	60	5
Total Demand (TD)	50	40	90
Beda Kolom (BK)	5	2

Perhatikan Tabel 3 tersebut BB dan BK terbesar adalah 12, jadi terpilih baris A. Pada baris A biaya terkecil adalah 8, berarti sel A – III diisi sebanyak 30. Jadi TD Gudang III bersisa 10 dan TS Pabrik A habis, sehingga baris A dihapus. Tabelnya menjadi:

Tabel 4

	Gudang I	Gudang III	Total Supply (TS)	Beda Baris (BB)
Pabrik B	15	10	60	5
Total Demand (TD)	50	10	60
Beda Kolom (BK)	-	-

Perhatikan Tabel 4, karena tersisa satu baris saja, maka sel B – I diisi sebanyak 50 dan sel B – III diisi sebanyak 10.  Dalam hal ini TD dan TS telah habis dipindahkan ke sel-sel terpilih, yaitu:

Sel C – II diisi sebanyak 50

Sel A – II diisi sebanyak 60

Sel A – III diisi sebanyak 30

Sel B – I diisi sebanyak 50

Sel B – III diisi sebanyak 10

Tabel Transportasi optimal dengan VAM diperoleh sebagai berikut:

                                                     Lokasi Tujuan (Destination)

	Gudang I		Gudang II		Gudang III		TOTAL SUPPLY
PABRIK A		20	60	5	30	8	90
PABRIK B	50	15		20	10	10	60
PABRIK C		25	50	10		19	50
TOTAL DEMAND	50		110		40		200

TC₃ = 60(5) + 30(8) + 50(15) + 10(10) + 50(10) = 1890

Metode MODI (Modified Distribution) adalah metode untuk mendapatkan solusi optimal masalah transportasi (total biaya transportasi mínimum).  Metode ini bersifat eksak dan juga disebut sebagai metode multiplier, karena dalam penghitungannya menggunakan multiplier, yaitu multiplier baris (u_i) dan multiplier kolom (v_j).  Metode MODI menggunakan algoritma: (1) Menentukan u_i dan v_j dengan memperhatikan basic variable, yaitu sel (kotak) yang ada isinya dan menggunakan rumus u_i + v_j = c_ij, (2) Menentukan indeks perbaikan, yaitu dengan memperhatikan sel (kotak) yang kosong dan dengan menggunakan rumus Indeks Perbaikan = c_ij – u_i – v_j, (3) Isilah sel kosong yang mempunyai Indeks Perbaikan negatif yang dimulai dari sel kosong dengan indeks perbaikan negatif terbesar, (4) Ulangi langkah (1) s/d (3), jika Indeks Perbaikan telah positif semua berarti solusi optimal telah tercapai dan tidak ada sel kosong yang harus diisi.

Perhatikan tabel transportasi awal seperti contoh sebelumnya, yaitu:

                                                            Lokasi Tujuan (Destination)

                                                    v₁ = 20         v₂ = 5           v₃ = 14     

	Gudang I		Gudang II		Gudang III		TOTAL SUPPLY
u1 = 0   PABRIK A	50	20	40	5		8	90
u2 = 15   PABRIK B		15	60	20		10	60
u3 = 5   PABRIK C		25	10	10	40	19	50
TOTAL DEMAND	50		110		40		200

Untuk menentukan multiplier u_i dan v_j, perhatikan sel yang ada isinya (basic var):

Sel 1 – 1: u₁ + v₁ = c₁₁ → 0 + v₁ = 20 → v₁ = 20

Sel 1 – 2: u₁ + v₂ = c₁₂ → 0 + v₂ = 5 → v₂ = 5

Sel 2 – 2: u₂ + v₂ = c₂₂ → u₂ + 5 = 20 → u₂ = 15

Sel 3 – 2: u₃ + v₂ = c₃₂ → u₃ + 5 = 10 → u₃ = 5

Sel 3 – 3: u₃ + v₃ = c₃₃ → 5 + v₃ = 19 → v₃ = 14

Untuk menentukan indeks perbaikan, perhatikan sel-sel kosong dan diperoleh tabel sebagai berikut:

Sel Kosong	Indeks Perbaikan
Sel 1 – 3	8 – 0 – 14 = – 6
Sel 2 – 1	15 – 15 – 20 = – 20
Sel 2 – 3	10 – 15 – 14 = – 19
Sel 1 – 3	25 – 5 – 20 = 0

Isilah sel-sel kosong yang mempunyai indeks perbaikan negatif yang dimulai dari sel dengan negatif terbesar.  Isi sel 2 – 1 dan diperoleh tabel transportasi berikut:

                                                     Lokasi Tujuan (Destination)

	Gudang I		Gudang II		Gudang III		TOTAL SUPPLY
PABRIK A		20	90	5		8	90
PABRIK B	50	15	10	20		10	60
PABRIK C		25	10	10	40	19	50
TOTAL DEMAND	50		110		40		200

Berikutnya isi sel 2 – 3 dan diperoleh tabel berikut:

                                                     Lokasi Tujuan (Destination)

	Gudang I		Gudang II		Gudang III		TOTAL SUPPLY
PABRIK A		20	90	5		8	90
PABRIK B	50	15		20	10	10	60
PABRIK C		25	20	10	30	19	50
TOTAL DEMAND	50		110		40		200

Berikutnya isi sel 1 – 3 dan diperoleh tabel berikut, kemudian dihitung multiplier u_i dan v_j:

                                                            Lokasi Tujuan (Destination)

                                                    v₁ = 13         v₂ = 5           v₃ = 8     

	Gudang I		Gudang II		Gudang III		TOTAL SUPPLY
u1 = 0   PABRIK A		20	60	5	30	8	90
u2 = 2   PABRIK B	50	15		20	10	10	60
PABRIK C		25	50	10		19	50
TOTAL DEMAND	50		110		40		200

Menghitung multiplier u_i dan v_j:

Sel 1 – 2: u₁ + v₂ = c₁₂ → 0 + v₂ = 5 → v₂ = 5

Sel 1 – 3: u₁ + v₃ = c₁₃ → 0 + v₃ = 8 → v₃ = 8

Sel 2 – 3: u₂ + v₃ = c₂₃ → u₂ + 8 = 10 → u₂ = 2

Sel 2 – 1: u₂ + v₁ = c₂₁ → 2 + v₁ = 15 → v₁ = 13

Sel 3 – 2: u₃ + v₂ = c₃₂ → u₃ + 5 = 10 → u₃ = 5

Tabel Indeks Perbaikan:

Sel Kosong	Indeks Perbaikan
Sel 1 – 1	20 – 0 – 13 = 7
Sel 2 – 2	20 – 2 – 5 = 13
Sel 3 – 1	25 – 5 – 13 = 7
Sel 3 – 3	19 – 5 – 8 = 6

Dalam tabel tersebut tampak indeks perbaikan untuk semua sel kosong sudah positif semua, ini berarti bahwa solusi optimal telah tercapai. Jadi total biaya transportasi mínimum sesuai dengan tabel transportasi di atas adalah :

TC_min = 60(5) + 30(8) + 50(15) + 10(10) + 50(10) = 1890

Catatan: Dalam metode MODI, jumlah basic variable adalah m + n – 1 dengan m banyaknya baris dan n banyaknya kolom. Jika basic variable < (m + n – 1), maka masalah transportasi menghadapi masalah degeneracy.  Untuk mengatasinya dilakukan dengan mengisikan angka nol pada sel (kotak) tertentu.

Soal-Soal Latihan:

1.    Tabel berikut menunjukkan biaya angkut per unit barang X dari Pabrik A, B, dan C ke Gudang I, II, dan III.

	Gudang I	Gudang II	Gudang III
Pabrik A	11	7	8
Pabrik B	9	12	6
Pabrik C	5	10	9

Diketahui kapasitas produksi Pabrik A = 100, Pabrik B = 150, dan Pabrik C = 200, sedangkan jumlah permintaan setiap gudang adalah Gudang I = 125, Gudang II = 100, dan Gudang III = 175. Tentukanlah solusi optimal untuk masalah transportasi di atas dengan: (1) metode Stepping Stone, (2) VAM, (3) Check jawaban nomor (1) dan (2) dengan MODI.

2.    Tabel berikut menunjukkan biaya angkut per unit barang Y dari Pabrik A, B, dan C ke Gudang I, II, dan III.

	Gudang I	Gudang II	Gudang III
Pabrik A	10	3	7
Pabrik B	5	8	2
Pabrik C	12	11	4

Diketahui kapasitas produksi Pabrik A = 250, Pabrik B = 250, dan Pabrik C = 200, sedangkan jumlah permintaan setiap gudang adalah Gudang I = 200, Gudang II = 200, dan Gudang III = 250. Tentukanlah solusi optimal untuk masalah transportasi di atas dengan: (1) metode Stepping Stone, (2) VAM, (3) Check jawaban nomor (1) dan (2) dengan MODI.

3.    Tabel berikut menunjukkan biaya angkut per unit per km untuk barang Z dari Pabrik A, B, dan C ke Gudang I, II, III, IV, dan V.

	Gudang I	Gudang II	Gudang III	Gudang IV	Gudang V
Pabrik A	5	8	6	6	3
Pabrik B	4	7	7	6	5
Pabrik C	8	4	6	6	4

Diketahui kapasitas produksi Pabrik A = 800, Pabrik B = 600, dan Pabrik C = 1100, sedangkan jumlah permintaan setiap gudang adalah Gudang I = 400, Gudang II = 400, Gudang III = 500, Gudang IV = 400, dan Gudang V = 800. Tentukanlah solusi optimal untuk masalah transportasi di atas dengan: (1) metode Stepping Stone, (2) VAM, (3) Check jawaban nomor (1) dan (2) dengan MODI.

           

Jawaban Nomor 1:

(1)    Dengan metode Stepping Stone

Tabel Transportasi awal:

                                                         Lokasi Tujuan (Destination)

	Gudang I		Gudang II		Gudang III		Gudang Dummy			TS
PABRIK A	100	11		7		8		0		100
PABRIK B	25	9	100	12	25	6			0	150
PABRIK C		5		10	150	9	50		0	200
TD	125		100		175		50			450

TC_o = 100(11) + 25(9) + 100(12) + 25(6) + 150(9) + 50(0) = 4025

Tabel Transportasi Perbaikan Pertama:

                                                         Lokasi Tujuan (Destination)

	Gudang I		Gudang II		Gudang III		Gudang Dummy			TS
PABRIK A		11	100	7		8		0		100
PABRIK B	125	9		12	25	6			0	150
PABRIK C		5		10	150	9	50		0	200
TD	125		100		175		50			450

TC₁ = 100(7) + 125(9) + 25(6) + 150(9) + 50(0) = 3325

Tabel Transportasi Perbaikan Kedua:

                                                         Lokasi Tujuan (Destination)

	Gudang I		Gudang II		Gudang III		Gudang Dummy			TS
PABRIK A		11	100	7		8		0		100
PABRIK B		9		12	150	6			0	150
PABRIK C	125	5		10	25	9	50		0	200
TD	125		100		175		50			450

TC₂ = 100(7) + 150(6) + 125(5) + 25(9) + 50(0) = 2450

(2)  Dengan menggunakan VAM

	GI	GII	GIII	GD	TS1	TS2	TS3	TS4	TS5	BB1	BB2	BB3	BB4	BB5
PA	11	7	8	0	100	50	50	50	0	7	1	1	1	-
PB	9	12	6	0	150	150	150	0	0	6	3	6	-	-
PC	5	10	9	0	200	200	75	75	75	5	4	3	1	1
TD1	125	100	175	50	450
TD2	125	100	175	0		400
TD3	0	100	175	0			275
TD4	0	100	25	0				125
TD5	0	50	25	0					75
BK1	4	3	2	0
BK2	4	3	2	-
BK3	-	3	2	-
BK4	-	3	1	-

Sel P_A – G_D diisi sebanyak 50, TS P_A bersisa 50 dan TD G_D habis, kolom G_D dihapus.

Sel P_C – G_I diisi sebanyak 125, TS P_C bersisa 75 dan TD G_I habis, kolom G_I dihapus.

Sel P_B – G_III diisi sebanyak 150, TD G_III bersisa 25 dan TS P_B habis, baris P_B dihapus.

Sel P_A – G_II diisi sebanyak 50, TD G_II bersisa 50 dan TS P_A habis, baris P_A dihapus.

Sel P_C – G_II diisi sebanyak 50 dan sel P_C – G_III diisi sebanyak 25

Tabel Transportasi akhir berdasarkan VAM:

                                                         Lokasi Tujuan (Destination)

	Gudang I		Gudang II		Gudang III		Gudang Dummy			TS
PABRIK A		11	50	7		8	50	0		100
PABRIK B		9		12	150	6			0	150
PABRIK C	125	5	50	10	25	9			0	200
TD	125		100		175		50			450

TC = 50(7) + 50(0) + 150(6) + 125(5) + 50(10) + 25(9) = 2600