PENGUJIAN HIPOTESIS RATA-RATA DUA POPULASI

Pengujian untuk Dua Sampel yang Independen - Seringkali dalam suatu penelitian akan diselidiki apakah suatu metode baru memberikan hasil yang lebih baik dari  metode lama, atau dua pendekatan dalam memberikan hasil yang sama. Masalah seperti ini dapat diselesaikan dengan melakukan pengujian rata-rata dua populasi.  Berikut adalah tabel untuk uji rata-rata dua populasi yang memuat hipotesis, statistik uji dengan asumsi variansi, dan daerah kiritis, yaitu daerah penolakan H₀..

Tabel 11.1 Uji Rata-Rata Dua Populasi

Hipotesis	Asumsi	Statistik Uji	Daerah Kritis
H0: μ1 - μ2 = d0 Ha: μ1 - μ2 d0	σ1 dan σ2 diketahui		atau
H0: μ1 - μ2 = d0 atau  H0: μ1 - μ2 ≤ d0 Ha: μ1 - μ2 > d0              Ha: μ1-  μ2 >  d0
H0: μ1 - μ2 = d0  atau H0: μ1 - μ2 ≥  d0 Ha: μ1 - μ2  <   d0             Ha: μ1- μ2 <  d0
H0: μ1 - μ2 = d0 Ha: μ1 - μ2 d0	σ1 dan σ2 tidak diketahui, diasumsikan nilai sama	dengan	atau
H0: μ1 - μ2 = d0 atau  H0: μ1 - μ2 ≤ d0 Ha: μ1 - μ2 > d0              Ha: μ1-  μ2 >  d0
H0: μ1 - μ2 = d0  atau H0: μ1 - μ2 ≥  d0 Ha: μ1  μ2  <   d0              Ha: μ1- μ2 <  d0
H0: μ1 - μ2 = d0 Ha: μ1 - μ2  d0	σ1 dan σ2 tidak diketahui,  diasumsikan nilai tidak sama		atau
H0: μ1 - μ2 = d0 atau  H0: μ1 - μ2 ≤ d0 Ha: μ1 - μ2 > d0              Ha: μ1-  μ2 >  d0
H0: μ1 - μ2 = d0  atau H0: μ1 - μ2 ≥  d0 Ha: μ1  μ2  <   d0              Ha: μ1- μ2 <  d0

Catatan.

Asumsi yang harus dipenuhi adalah masing-masing sampel independen dan diambil dari populasi berdistribusi normal.

Untuk n = m statistik uji yang ke dua dan ke tiga adalah sama, sehingga tidak perlu diuji apakah variansi sama atau tidak.

Uji kesamaan variansi dapat dilakukan dengan uji Lavene yang sudah teredia dalam paket program SPSS 16

Contoh 11.1 Suatu sampel acak berukuran n = 25 diambil dari populasi normal dengan simpangan baku s₁ = 5,2 mempunyai rata-rata . Sampel kedua berukuran m = 36 diambil dari populasi yang lain dengan simpangan baku  s₁ = 3,4 mempunyai rata-rata  . Uji hipotesis H₀: μ₁ - μ₂ = 0 _dan H_a: μ₁ - μ₂ > 0 dengan taraf signifikansi 0,05.

Jawab.

Daerah kritis = _0,05 = 1,645  

Perhitungan :

Kesimpulan :

Karena z = 4,22 > _0,05 = 1,645, maka H₀ ditolak, yang berarti rata-rata populasi pertama lebih besar daripada rata-rata populasi kedua.

Contoh 11.2. Suatu perkuliahan statistika diberikan pada pada dua kelas. Kelas pertama diikuti 12 mahasiswa dengan pembelajaran kooperatif dan kelas lain diikuti 10 mahasiswa dengan pembelajaran konvensional. Pada akhir semester mahasiswa diberi ujian dengan soal yang sama untuk kedua kelas. Hasil ujian pada kelas kooperatif mencapai nilai rata-rata 85 dengan simpangan baku 4, sedang kelas biasa memperoleh nilai rata-rata 81 dengan simpangan baku 5.

Ujilah hipotesis bahwa hasil pembelajaran dengan kedua metode adalah sama dengan menggunakan taraf signifikansi 10 %. Asumsikan kedua populasi berdistribusi normal dengan variansi sama.

Jawab.

Diketahui , S₁ = 4, n = 12; , S₂ = 5, m = 10

Hipotesis

H₀: μ₁ - μ₂ = 0

H_a: μ₁ - μ₂ 0

Daerah kritis :

= -t_0,05;20 = -1,725 atau = t_0,05;20 = 1,725

Perhitungan

Kesimpulan:

Karena t = 2,07 > 1,725, maka H₀ ditolak pada taraf signifikansi 10 %. Ini berarti bahwa kedua pembelajaran memberikan hasil pembelajaran yang tidak sama.(rata-rata hasil pembelajaran kedua metode tidak sama)

Contoh 11.3. Dengan menggunakan data pada Contoh 2, Ujilah hipotesis bahwa hasil pembelajaran dengan metode kooperatif lebih baik daripada dengan metode konvensional dengan menggunakan taraf signifikansi 5 %. Asumsikan kedua populasi berdistribusi normal dengan variansi tidak sama.

Jawab.

Hipotesis

H₀: μ₁ - μ₂  = 0

H_a: μ₁ - μ₂  > 0

Daerah kritis :

Untuk menentukan daerah kritis perlu melakukan perhitungan derajat bebas

Dengan demikian daerah kritis adalah

= 1,74

Perhitungan

Kesimpulan:

Karena t = 2,04 > 1,74, maka H₀ ditolak pada taraf signifikansi 0,05 . Ini berarti bahwa pembelajaran kooperatif memberikan hasil pembelajaran yang lebih tinggi dibandingkan dengan pembelajaran konvensional.

11. 2 Pengujian untuk Data Berpasangan

Andaikan kita tertarik untuk mengetahui apakah suatu metode pembelajaran A berhasil menaikkan hasil belajar atau tidak. Sebanyak n siswa diberi perlakuan pembelajaran dengan metode A, dan diberi pretes dan postes. Bagaimana menguji hipotesis apakah metode pembelajaran A efektif menaikan hasil belajar siswa ?

Data hasil pretes dan postes dapat dinyatakan dalam n pasangan (X_i , Y_i ), i = 1, . . . , n, dengan X_i  adalah  nilai pretes dan Y_i adalah postes. Dalam masalah  ini X₁, X_2, ..., X_n dan Y₁, Y_2, ..., y_n tidak independen, karena dimungkinkan ada kecenderungan orang dengan nilai pretes yang lebih tinggi akan mempunyai postes yang lebih tinggi. Oleh karena itu statistik uji t untuk sampel independent tidak dapat digunakan.

Misalkan  W_i = X_i −Y_i , i = 1, . . . , n, maka W_i  menghasilkan rata-rata  dan simpangan baku s_W. Hipotesis nol m_W = 0 menunjukkan bahwa metode pembelajaran tidak berhasil menaikkan hasil belajar. Secara umum hipotesis, statistik uji, dan daerah kritis untuk data berpasangan dasajikan dalam Tabel 11.2

Tabel 11.1 Uji Rata-Rata Data Berpasangan

Hipotesis	Statistik Uji	Daerah Kritis
H0: μW = 0 Ha:  μW  0	adalah rata-rata	atau
H0:  μW  = 0 atau  H0:  μW  ≤ 0 Ha:  μW  > 0              Ha:  μW  >  0
H0:  μW 2 = 0  atau H0:  μW  ≥  0 Ha:  μW   <   0             Ha:  μW  <  0

Asumsi yang harus dipenuhi adalah W_i berdistribusi normal.

Contoh 11.4 Suatu penelitian dilakukan untuk mengetahui apakah  ada perbedaan antara tinggi anak laki-laki pertama dan ayah. Berikut adalah data tentang tinggi anak laki-laki pertama (X) dan tinggi ayah (Y).

Tinggi anak (X)	Tinggi ayah (Y)	W	W2
158 160 163 157 154 164 169 158 162 161	161 159 162 160 156 159 163 160 158 160	-3 1 1 -3 -2 5 6 -2 4 1	9 1 1 9 4 25 36 4 16 1
Jumlah		8	106

Hipotesis yang diuji adalah

H₀ H₀: μ_W = 0

H_a:  μ_W  0

Dari data tersebut diperoleh rata-rata  = 0,8

dan simpangan baku .

Statistik uji

Dari tabel distribusi t Karena t  t_{0,025; 9} =  2,26. Karena  diperoleh t_hitung  < t_tabel , maka dapat disimpulkan bahwa tidak ada perbedaan yang signifikan (taraf signifikansi 0,05) antara tinggi ayah dan anak laki-laki pertama.

Latihan 11.

1.      Sampel yang terdiri atas 10 ikan ditangkap di danau A dan konsentrasi PCB(zat kimia yang mencemari danau) diukur menggunakan teknik tertentu dan 8 ikan ditangkap di danau B dengan teknik lain. Hasil pengukuran dalam mikromili adalah :

            Danau A : 11,5    10,8     11,6      9,4   12,4     11,4     12,2    11    10,6      10,8

            Danau B : 11,8    12,6      12,2   12,5   11,7     12,1     10,4    12,6

            Jika diketahui bahwa teknik yang digunakan di danau A mempunyai variansi 0,09 dan yang digunakan di danau B mempunyai variansi 0,16. Dengan taraf signifikansi 0,05 dapatkah anda menolak hipotesis bahwa kedua danau mempunyai tingkat pencemaran yang sama ?

2.      Suatu pabrik menyatakan bahwa rata-rata daya rentang benang A melebihi daya rentang benang B paling sedikit 12 kg. Untuk menguji pernyataan ini 50 potong benang dari tiap jenis diuji dalam keadaan sama. Benang A mempunyai rata-rata daya rentang 86,7 kg dengan simpangan baku 6,28 kg, sedangkan benang B mempunyai rata-rata daya rentang 77,8 kg dengan simpangan baku 5,61 kg. Ujilah pernyataan pengusaha tadi dengan taraf signifikansi 0,05 dan anggap bahwa kedua populasi berdistribusi hampir normal dengan variansi sama.

3.      Suatu penelitian dilakukan untuk mengetahui apakah peningkatan konsentrasi substrat akan mempengaruhi reaksi kimia dengan cukup besar. Dengan konsentrasi substrat 1,5 mol per liter, reaksi dilakukan 15 kali dengan rata-rata 7,5 mikromol per 30 menit dengan simpangan baku 1,5. Dengan konsentrasi substrat 2 mol per liter, reaksi dilakukan 18 kali dengan rata-rata 8,8 mikromol per 30 menit dengan simpangan baku 1,2. Apakah anda setuju bahwa peningkatan konsentrasi substrat menaikkan kecepatan rata-rata sebesar 0,5 mikromol per 30 menit ? Gunakan taraf signifikansi 0,01 dan anggap bahwa kedua populasi berdistribusi hampir normal dengan variansi tidak sama.

4.      Data berikut memberikan waktu putar film yang dihasilkan oleh dua perusahaan film gambar hidup.

Waktu(menit)

 

Perusahaan A         102        86      98      109      92

Perusahaan B           81      165       97      34        92       87       114

 

Ujilah hipotesis pada taraf signifikansi 0,05 bahwa tidak ada beda waktu putar antara kedua perusahaan. Anggap bahwa kedua populasi berdistribusi hampir normal dengan variansi sama.

5. Dua puluh dua orang sukarelawan yang menderita penyakit flu diteliti untuk mengetahui pengaruh pemberian vitamin C pada lama penyembuhan penyakit flu tersebut. Sepuluh orang diberi tablet vitamin C, dan sisanya diberi placebo ( tablet yang tidak mengandung vitamin C tapi rasa dan bentuknya mirip tablet vitamin C) sampai mereka dinyatakan sembuh. Waktu kesembuhan dicatat (dalam hari), dan diperoleh data sebagai berikut. Apakah data tersebut mendukung pernyataan bahwa pemberian vitamin C menurunkan waktu penderita mencapai                kesembuhan ? Anggap bahwa kedua populasi berdistribusi hampir normal dengan variansi sama.

Pasien yang diberi vitamin C	Pasien yang diberi placebo
5,5 6,0 7,0 6,0 7,5 6,0 7,5 5,5 7,0 6,5	6,5 6,0 8,5 7,0 6,5 8,0 7,5 6,5 7,5 6,0 8,5 7,5

6.      Sepuluh orang pasien melakukan diit untuk mengurangi berat badan. Berat badan sebelum dan sesudah diit ditimbang untuk mengetahui apakah diit berhasil atau tidak. Hasilnya diberikan pada tabel berikut. Dapatkah disimpulkan bahwa diit yang telah dilakukan berhasil ? Asumsi apa yang harus dipenuhi ? Gunakan taraf signifikansi 0,05.

Pasien	Berat Sebelum Diit	Berat Sesudah Diit
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	78,3 84,7 77,4 95,6 82,0 69,4 79,7 85,6 92,8 99,2	77,4 83,2 75,7 92,4 80,2 68,1 76,9 83,9 90,4 95,2

7.      Suatu penelitian dilakukan untuk mengetahui pengaruh joging terhadap penurunan denyut nadi. Delapan orang yang tidak pernah joging diminta melakukan joging selama satu bulan. Denyut nadi sebelum dan sesudah program joging diukur, dan diperoleh data berikut

Subjek	1      2       3       4          5      6        7        8
Denyut nadi sebelum program	74     86     98    102      78     84      79      70
Denyut nadi sesudah program	70     85     90    110      71     80       69    74

Dapatkah disimpulkan joging berpengaruh menurunkan denyut jantung. Gunakan taraf signifikansi 0,05.