INTEGRASI NUMERIK MATEMATIKA

6.1 Pendahuluan

            Formulasi dari Integrasi suatu fungsi ditulis dalam bentuk :

            I =                                                                                (6.1)

yang merupakan integral suatu fungsi f(x) terhadap variabel x yang dihitung  antara batas x = a sampai  x = b. Seperti yang ditunjukan dalam Gambar 6.1. Yang dimaksud dengan integrasi adalah nilai total atau luasan yang dibatasi oleh fungsi f(x) dan sumbu x , dari batas  x = a sampai x = b .

F(x)

 

INTEGRASI NUMERIK

http://hendristkip.blogspot.co.id/

Integrasi numerik merupakan pendekatan dari integrasi analitis  untuk mempermudah mendapatkan solusinya, dimana kadang-kadang suatu integral sulit diselesaikan dengan analitis.

Integrasi numerik merupakan integral tertentu yang didasarkan pada  perkiraan dengan membagi luasan dalam sejumlah pias kecil. Luas totalnya adalah jumlah dari luas pias semuanya.

            Metode integrasi numerik dapat dibedakan dalam dua kelompok, yaitu kelompok metode Newton-cotes dan kelompok metode Gauss. Yang termasuk Metode Newton-cotes  diantaranya adalah metode Trapesium dan metode Simpson, sedangkan untuk kelompok metode Gauss  contohnya adalah metode Gauss-kuadratur.

6.2 Metode Trapesium

            Dalam metode ini kurva lengkung dari fungsi f(x) seperti pada gambar 6.2 digantikan dengan garis lurus. Sehingga luasan bidang dibawah kurva fungsi f(x) didekati dengan luas trapesium

                                                       

                                                                                               

                                                             

                                                                                   

                                                                                   

                                                                                   

                                                                    

           

           

Gambar 6.2 Luasan Trapesium

            Untuk menghitung integrasi sesuai dengan persamaan (6.1), maka :

            I @ (b-a)                                                                   (6.2)

Penggunaan garis lurus untuk mendekati garis lengkung menyebabkan terjadinya kesalahan sebesar luasan yang tidak diarsir. Besarnya kesalahan dapat diperkirakan dari persamaan berikut :

E = -   , dimana f” adalah turunan kedua dari fungsi f(x), h adalah (b-a)  dan x adalah titik tengah interval a dan b.

Contoh 1. :

Hitung    I =   dengan metode trapesium satu pias.

Penyelesaian :

- Apabila diselesaikan secara analitis :

I = e⁴ - e⁰ = 53,59815

- Dengan integrasi numerik :

I = (4 - 0)  = 111,1963

Kesalahannya : e = (53,59815 -111,1963) / 53,59815 x 100 % = -107,46 %

            Untuk memperkecil kesalahan yang ada maka dilakukan pembagian luasan dibawah kurva dengan jumlah n pias trapesium dengan lebar yang sama. Seperti dapat dilihat pada Gambar 6.2., lebar pias h = (b-a) / n , dengan demikian dapat ditulis :

x_r = a + r h

f_r =  f(x_r)

Gambar 6.2. Derivation of the Trapesium Rule

Luas dari NMPQ adalah sebagai luasan trapesium : 

                                                                                                       (6.3)

Total luas dibawah kurva dapat didekati dengan jumlah n trapesium :

I @ h ( f₀ + f₁) +h  ( f₁ + f₂) +h  ( f₂ + f₃) + ..... +h ( f_n-2 + f_n-1) +

      h ( f_n-1 + f_n)                                                                                             (6.4)

 I @ h ( f₀ + f₁ + f₂  + .....  + f_n-1 + f_n)                                                        (6.5)

atau 

I @ h  [ f (a) + f (b) + 2 ]                                                                  (6.6)

            Besarnya kesalahan yang terjadi pada penggunaan banyak pias adalah :

 E_t  = -  ,  dimana nilai adalah rata-rata nilai f”(x) untuk nilai x antara a dan b

untuk kebanyakan fungsi, bentuk  dapat didekati dengan oleh persamaan :

=                                                                                               (6.7)

Sehingga bentuk persamaan trapesium dengan memperhitungkan koreksi yaitu :

I @ h  [ f (a) + f (b) + 2 ] - []                                    (6.8)

Metode trapesium dapat digunakan untuk integrasi suatu fungsi yang diberikan dalam bentuk numerik pada intervaal diskret. Koreksi pada ujung-ujungnya dapat didekati dengan mengganti diferensial f’(a) dan f’(b) dengan diferensial beda hingga :

Contoh 2. :

Selesaikan soal pada contoh 1. dengan menggunakan metode trapesium empat pias dengan lebar pias 1.

penyelesaian :

Luas trapesium dengan 4 pias , h = 1

I @ h  [ f (a) + f (b) + 2 ]

I @ 1  [ e⁰ + e⁴ + 2 (e¹ + e² + e³)] = 57,991950

f (r) =                                                                                           (6.9)

Berikut penggunaan progam untuk aturan trapesium untuk mengevaluasi :

              

Catatan : nilai eksak : I =

(Untuk penggunaan integral yang lainnya bisa dengan melakukan perubahan pada baris 20 dan 30 sesuai persoalannya)

10 REM TRAPEZIUM RULE

20 DEF FNF (X)=EXP(-X/2)

30 DATA 1,2

40 READ A,B

50 INPUT “NUMBER OF STRIPS”;N

60 LET H=(B-A)/N

70 LET P=(FNF(A)+FNF(B))/2

80 FOR R=1 TO N-1

90 LET P = P+FNF(A+R*H)

100 NEXT R

110 PRINT “INTEGRAL IS”;H*P

Keluaran dari program ini  adalah:

NUMBER OF STRIPS? 10

INTEGRAL IS  .477401871

NUMBER OF STRIPS? 100

INTEGRAL IS  .477303431

NUMBER OF STRIPS? 1000

INTEGRAL IS  .477302448

Nilai yang benar dari integral tersebut adalah 0.477302437, nilai terakhir diatas cukup akurat sampai 7 desimal. Tetapi memakan waktu yang cukup lama dalam running programnya.